第三节 指数曲线法和生长曲线法一、揩数曲线法

大量统计分析表明，科学技术的发展，呈随时间按指数或接近指数规律的趋势变化。即技术发展特性参数的提高在其早期阶段按等比速度发展，但进入技术发展的中后期，其发展速度逐渐减慢，而且技术指标最后趋于某个极限，而不是无限上升。指数曲线主要反映技术增长在达到极限前的发展趋势。因此这种预测方法只适用于短期或中期预测。如图 21-3 所示。

图 21-3 指数曲线图指数曲线的数学表现形式为：

dY = kt dt

式中：Y——技术发展的特性参数t——为时间

k——常数解此微分方程得

（21-2）

Y = Y0e

式中：Y0 是初始时期的技术特性参数值。指数趋势可以方便地使用半对数尺度化为直线。如对指数方程（20-1）两边取对数，则得：

InY＝InY0＋kt （21-3）

令 Iny＝Y，Iny0＝A，该模型可化为线性方程：

Y＝A＋kt （21-4）

用最小平方法求出 A、k：

A = Y − k t

k = (∑ tY − nty) / (∑t 2 − nt 2 )

利用指数曲线法预测基本步骤为：

  1. 选择有待预测的某一技术的特性参数。

  2. 收集该参数的历史数据，涉及时间越多越好。

（21-5）

  1. 将历史数据在普通坐标或半对数坐标纸上绘成“散点图”，纵坐标代表参数，横坐标代表时间。

  2. 根据散点图拟合成一条曲线。

  3. 将曲线延伸至未来，便可预测出未来的参数值。

在使用指数增长模型时，方便于计算对时间数列选取中其间隔最好一致，若在某一数列中，绝大部分时间问隔一致，只有个别部分不一致，应采用修匀法使之一致；当涉及历史年代较长数时，将实际年份相加总数较大， 不便于计算，可将其简化为 1，2，3⋯⋯n 的数列，相加得以简化，并可用下列公式直接算出∑t 和∑t2。

∑t=n(n+1)/2

∑t2=n(n+1)(2n+1)/6 式中，n 为序列的项数。