第四节 替代曲线、包络曲线和灰色预测一、替代曲线

一种新技术取代功能完全相同的旧技术，这是技术发展的必然规律。在技术发展过程中对新旧技术交替速度进行预测是十分重要的。实践表明，新技术发展初期，由于其可靠性和经济性还未经实践充分验证，要承担一定的风险，同时原来的旧技术也力图改进，延缓淘汰，因此新技术取代旧技术的速度较慢。随着新技术的日趋完善，优越性日渐显著，取代速度大大加快。但当趋近完全取代时，新技术的性能虽能充分发挥，而旧技术在某些领域内尚发挥其特定效用，取代速度又明显减缓。如图（21-8）所示。替代曲线也是一条 S 曲线，其数学模型是费歇尔（Fisher）和普顿（Pry）在 1971 年提出的。应用替代曲线须符合下面三个假设：一是技术增长呈 S 形曲线，在发展年期呈指数增长；二是技术增长有一定的极限；三是增长曲线是对称形， 转折点位于开始与结尾中部。

依上述假设，其数学表达式为：设 y 为新技术的占有份额，则老技术占有份额为（1-y）在时间 dt 内，新技术占有率将改变 dy，相比变化为 dy/y，

1 dy

因此相对变化速率为 Y · dt ，则有：

1 ⋅ dy = a(1 − y) (21-17）

y dt

式中：a 为比例常数。解此微分方程dy/[y(1-y)]=adt [1/y+1/(1-y)]dy=adt

∫ dy + ∫ dy = ∫ adt

y 1 − y

1ny-1n(1-y)=a(t-t0)

得 1n[y/(1-y)]=a(t-t0) (21-18)

或 y=1/[1+e-a(t-t0)] (21-19)

当 y 比 1 小许多时，式（21-17）可看成

1 ⋅ dy ＝a，所以 a 的大小表示

y dt

新技术在取代初期市场占有率的相对变化率。

1 1

根据式（21-19），当 t＝t0 时，y＝ 2 ，因此 t0，表示新技术占有 2 市

场的时刻。

因老技术的市场占有份额为（1—y），所以老技术的市场占有率为： yold=1-y=1/[1+ea(t-t0)] （21－20） 根据式（21—19）和（21—20）可画出新技术和老技术两条生长曲线。

图 21－8 替代曲线

当ｔ→0 时，新技术占有率 y→0，者技术占有率 yold→1，两条曲线的交

点处表示新老技术的占有率相等，各为 1/2，因此交点处的时刻表示 to，即新技术占有 1/2 市场的时刻。

上述假设是新技术最终完全取代老技术，但在很多情况下，新技术不能完全取代老技术，例如，合成纤维并不能完全取代天然纤维，天然纤维有其特殊用途，仍将占有一定的市场份额。这时，新技术最终的市场占有率可能存在一个小于 1 的极限 L 这样式（21－18）和（21－19）可分别修改为：

1n(

y L1 − y

) = a(t − t ₀)

（21-21）

y＝L/［1+e-a(t-t0)］ （21－22）

老技术占有率式可修改为：

yold=(1-L)/[1+e-a(t-t0)]+1/[1+ea(t-t0)] (21-23)