三、灰色预测

预测模型所用的原始数据由于受多种条件变化而需要经过一定的技术处理，灰色预测建模的一个特点是所用数据是经过一定方式处理的生成数。另外，在科技预测中经常遇到的一个问题是数据缺项（即序列中有灰数），对此，灰色系统理论也给出了相应的处理方法。

1. 数据的处理。灰色理论中常用生成数这一概念，其生成方式有累加生成，记为 AGO，累减生成，记为 IAGO。这种处理之目的在于：为建模提供了中间信息，将原有随机序列的随机性以弱化，获得预测值。

记时间序列 X(0)＝｛X(0)（1），X(0)（2），⋯⋯，X(0)（N）｝是一随机过程，且不一定平稳，若作数据 m 次累加（m——AGO），则得到一新序列， 记为：

X ^(m) ( K ) = ∑ X ^(m−1) (i)

i= 1

(21-24)

理论与实践表明，任一随机时间序列经其 m——AGO 处理后，可认为时间序列已由随机变化为非随机了，一般非随机的多次 AGO 序列大多可用指数曲线逼近。

为了建模或在预测时进行数据处理，还常要求累减。

令a⁽⁰⁾ ( X ,i) = X ^(m) (i) m ∈{1,2 ⋅ ⋅⋅, n}

则a⁽¹⁾ ( X ,1) = a ⁽⁰⁾ (x,1) − a ⁽⁰⁾ (x,i − 1) (21− 25)

相似地, m − OAGP算式为:

a ( m)

= a^(m−1) (x,1 − 1) (21− 26)

灰色理论对预测数据进行补缺是用一个离散的均值函数计算空缺。

已知 X(0)（1）及 X(0)（1＋m）均为白数，可是，［1，1＋m］区间的数为灰色，则均值化的灰数 X0（1＋p）为：

X (0)(1 + p) = p x ⁽⁰⁾ (1 + m) + m − p x ⁽⁰⁾ (1) (21− 27)

m m

( p = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅,m − 1)

1. 灰色预测模型。灰色模型记为 GM（d，N），d 为模型的阶，N 为参数的个数。

设 X ^{(0) ， X (0) ⋯⋯ X (0) 为系统的特性参数，}

1 2 n

若对 X ^{(0) 建立 GM（1，N），则其白化微分方程为：}

dx( 1)

¹ + ax ⁽¹⁾ = b x ⁽¹⁾ + b x ⁽¹⁾ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ +b x ⁽¹⁾ (21− 28)

dt ¹

1 2 2 3

^

N −1 N

式中参数列定义为a

^

a = (a,b1 ,b2

,⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅b

N −1 )

按最小平方法计算，则有：

^

a = ( B^T B)⁻¹ B Y

式中

− 1 [ x⁽¹⁾ (1) + x ⁽¹⁾ (2)] x ⁽¹⁾ (2) ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅x ⁽¹⁾ (2)

 2 1 1 2 N

 1

B  ( 1) ( 1) (1) (1)

= − [ x₁



(2) + x1

(3)]

x2 (3) ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅x N

(3)

− 1 [ x⁽¹⁾ (n − 1) + x⁽¹⁾ (n)] x⁽¹⁾ (n) ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅x ⁽¹⁾ (n)

 2 1 1 2 N