二、生长曲线法

指数曲线不能预测接近极限时的技术发展状态。对需要考虑极值的影响的技术预测往往要用到生长曲线模型。生长曲线揭示多数事物的发展，如同生物的发展一样要经历发生、发展和成熟三个阶段，而且每个阶段的发展速度也不均衡。发生阶段，速度较慢；发展阶段，速度最快；成熟阶段，速度又趋缓。整个发展过程呈 S 形曲线。在科技发展过程中，对于某一特定的技术而言，在它开始出现时，由于初始性困难和技术上还存在着诸多难题，加之用户还不了解其使用方法，未达到应有的经济效益，未得到足够的投资和研究费用，因而难以竞争过现有技术，发展速度是缓慢的。但是一旦克服了这些困难，其性能的提高将是迅速的，呈指数状上升。但是由于种种因素的限制，它不可能无限的发展，而当经过拐点，接近极限时，增长速度再次变得非常缓慢。预测这些增长速度起显著变化的转折点的时刻，对科技预测来说是极其重要的。所以用生长曲线模型来预测一种特定技术在何时逼近其上限并揭示新出现的技术将何时超越原有技术。如图 21—4 所示。

图 21—4 技术变量发展趋势生长曲线的数学表达式为：

dy = ky( L − y) (21 − 7)

dt

式中：y──预测技术发展特性参数值t──时间

L──参数 y 的极限值。 L≥y k──常数 k＞0

利用生长曲线预测时，y 不能无限制增长，因为 L 是 y 的极值。这时特性参数的相对增长速度为：

( dy ) / y = k ( L − y) dt

（21—8）

它已不是常数，而是 y 的函数。特性参数 y 达到的水平越高，其相对增长速度越慢。这是生长曲线与指数曲线的重要区别。在初始（y ＜L）状态， 生长曲线实际上与指数曲线相一致。

在生长曲线里拐点是重要的。拐点之前意味着事物处于发生或发展阶段，拐点之后事物则处于发展或成熟阶段。所以在运用生长曲线模型预测时， 都要计算拐点。对模型取二阶导数，并令其等于零，这时得到 y 与 t 的对应值即为拐点。

生长曲线有三种，一种是对称型的，称珀尔曲线；另一种是非对称形的， 称戈珀兹曲线；第三种是概率分布曲线，如替代曲线

（一）琅尔（R.Pearl）曲线。

美国生物学家和人口统计学家珀尔（R.Pearl）提出的技术发展模型：

L

y = 1 + ae ^−bt

（21－9）

式中：L——变量 y 的极值；

a 和 b——常数（a 定曲线在时轴上的位置；b 决定曲线中间部分的斜率）； e——自然对数的基；

t——时间。

当：t＝-∞时，曲线的初始值为 o，而当 t＝+∞时，其值为 L。当对 Y 取时间的二阶导数，并使其为零时，则得曲线的拐点为：

1

t = b 1na;

y = L

2

在这里曲线的上下互相对称（如图 21-5）。

琅尔曲线的特点在于其形状与位置的独立性，可分别予以控制，即改变a 的值只影响其位置而下影响其形状；改变 b 的值只影响其形状而不影响其位置。

珀尔曲线有以下几种变形：

1. 勃拉克曼（Blatkman）对珀尔曲线进行变换，提出的勃拉克曼线性方程模型：

1n[y/(L-y)]=1na+bt （21－10）

令 1n[y/(L-y)]=Y 1na=A

则上式为：

Y=A+bt （21－11）

式（21-10）是珀尔数学式的对数形式，在半对数坐标纸上，原来的 S 形曲线变成一条直线，利用历史数据通过回归分析求出系数 a、b，画出直线向外延伸便可进行预测。

1. 佛劳德（Floyd）对珀尔曲线数学式提出的修正式：

1n[y/（L-y）+L/（L-y）＝A＋bt （21-12） 当 y 接近于零时，式（21－2）左端第二项接近于 1，移至右端与 A 合并，

仍为常数，即式（21－10），因此在 y 接近于零或较小时，用勃拉克曼和佛劳德式得出的预测值是接近的，此后，用佛劳德式得出的预测值将低于勃拉克曼模型得出的预测值，见图 21-6。

1. 沙利夫——克比尔（Sharif—Kabin）对珀尔曲线的修正公式。沙利夫

——克比尔对勃拉克曼和佛劳德两模式进行了综合而得一修正式：

图 21-6 勃拉克曼曲线与佛劳德曲线的比较

ln[y/（L-y）]十б[L/（L-y）] ＝A 十 bt （21-13） 令 y 的上限值 L 为 1，则上式变为：

ln［y/（1-y）]十б[1/（1-y）]＝A 十 bt （21-14） 式中б为修正系数，其值介于 0 至 1 之间。当б＝0 时，式（21－13）

即式（21－10）为勃拉克曼曲线；当б＝1 时，式（21-13）即式（21-12） 为佛劳德曲线式。б的大小要视多种因素而决定，诸如数据的分散程度、数据的范围、最近期的 y 值、技术产品有效寿命（y 从 0.1 到 0.9 所需要的时间）。

在应用琅尔曲线时，在技术发展早期，经历时间久，数据多，据此得到的预测结果往往比实际值小，为清除这种偏差，一般把 y 小于 0.1 的历史数据删去，只利用 y 大于 0.1 的数据进行预测。

此外鉴于技术发展早期的历史数据的分散性和最近期数据对预测前景影响较大，采用不同的数据，预测结果可能相差较大，为减少这种不一致性， 可采用移动平均法对数据进行修匀处理。

（二）戈珀兹（B.Gompartz）曲线

美国统计学家和数学家戈琅兹提出的技术发展模型是：

y=Le-be-kt （21-15）

图 21-7 戈珀兹曲线

戈珀兹模型是双层指数，故而又称双指数模型。同琅尔曲线有相同的情况，当 t＝—∞时，变量 y＝0，当 t＝∞时，y＝L。但戈珀兹曲线是不对称的（图 21—7），其拐点为：

t＝（lnb）/k

y = L

e

在对戈珀兹曲线作线性回归前，须通过两次取对数以求得其线性形式： Y＝ln[ln（L/y）］＝lnb-kt （21-16） 当 Y 对：作回归时，常数项为 lnb，斜率为 k。通过回归取得 b 与 k 值后，

可以代入式（21-16）中，从而根据不同的 t 值预测变量 Y 的值。