曲线的斜率

曲线是其斜率发生变化的线段。考察一下图 1A—5 中的曲线 ABCDEF。假设我们在点 B。我们可以很容易计算从 B 到曲线上其他点的斜率。例如， 要计算从 B 到 E 的斜率，我们把一个直角三角形置于其下，两个角分别在 B 和 E 点，正如图 1A—3 那样。这叫两点之间弧斜率。注意，由于线段是曲线， B 和 E 之间弧斜率与 BD 之间的弧斜率不同。

有的时候，弧斜率就足以解决手头的问题。有的时候，提出图 1A—4 坡度与斜率不同注意：即使（a）看起来比（b）更陡，但是它们表示的关系却是相同的。两者的斜率都是 1/2，但是，在（ｂ）中，X 轴延长了。

线段 BE 或 BD 可以用来计算两点之间的平均斜率，这种斜率叫作弧斜率。这样的问题会有助于问题的解决：曲线在一点，比如β点的斜率是多少？

从我们的斜率是两点之间高度与长度之比的定义来看，某一点的斜率这个概念似乎很奇怪。考虑一点的斜率最便当的方法是想象两个点越来越接近。在这一接近运动的极限上，就好像我们只能用越来越强大的显微镜看见两点之间的光线一样，它们对于我们的目的来说就是在同一点上。

用这一方法，我们可以把一点的斜率看作是越来越接近的两点的弧斜率加以计算。例如，在图 1A—5 中，当 C 越来越接近 B 的时候（如图中箭头所示），我们就可以度量线段 BC 的斜率。你能否看出，当 C 接近 B 的时候， 斜率趋向于一个确定的数值？沿着一条平滑的曲线确实会得到这一结果。因此，你所得到的 B 点的斜率就是那个极限。

通过作切线，我们可以计算一点的斜率。例如，直线 FBMJ 是平滑曲线

ABD 在 B 点的切线。B 点的斜率也就是切线的斜率。即 NJ 。

MN

另外一种与此等价的计算斜率的方法，是在 B 点上画一条曲线的切线。根据定义，曲线的切线本身是一条直线；它不与曲线相交，而只是与曲线相接触；并且仅仅在一点接触曲线。通过观察图 1A—6，可以很容易看出，如何考虑用切线 FJ 的斜率来计算曲线在 B 点的斜率；同样可以利用 CH 来计算D 点的斜率。对每一条这种直线，我们都可以应用通常的直角测量方法。此外，注意两种计舆斜率的方法（极限和切线）得出的结果是相同的。