排队长度

排队长度是指等待检验的产品数量。这是检验工人和生产工人都非常关心的问题，因为它不仅影响生产工人的作业，而且关系到检验站存放产品的空间，存放面积太小，无法存放；存放面积太大，又可能造成浪费。

在随机服务系统的研究中，一般都集中在以上三个指标的讨论 上，即研究等待时间、忙期与队长的平均数及其相应的分布函数。

图 6.3.7 是检验服务系统的排队示意图。一般说，检验站的设计原则应满足平均检验率（μ）必须大于送检工件的单位时间平均到达率（λ）。

为了研究送检工件的平均到达率，必须研究送检工件到达的规律。通过研究表明，送检工件的到达规律是服从负指数分布的。在这种情况下，送检工件到达的数量构成泊松分布，按泊松分布的到达是一个随机事件，并假定一种工件的到达与其它工件的到达是完全相互独立的，而且在任何情况下的实际排队过程都是如此。单位时间内的平均到达率为λ，则平均到达时间为1/λ。

排队长度 - 图1检验站

到达

送检产品

等

(排队)

检测

(服务)

合格品

不合格品

图 6.3.7 检验服务系统的排队模型

同样，可以认为服务率也是服从泊松分布，平均服务率（即平均检验率）

为μ，服务时间则服从负指数分布，平均服务时间则为 1/μ。

在研究检验服务系统中，还要确定服务规则。最简单的服务规则是“先到先服务”（即第一个到达的产品首先得到服务，依此类推）；有时也要照“服务时间最短”的原则，即检验时间最短的最先检验（依此类推），采用哪一服务原则，要看具体情况而定。

在上述假定情况下（与实际基本相近），通过计算推导（略）可以得出如下结果：

  1. 平均等待检验的工件数为 L，则

λ2

Lq = μ(μ − λ)

  1. 系统中（即检验站内）的平均工件数（包括正在检验的）为 L，则

λ

L = μ − λ

  1. 平均等待时间为 WT，则

λ

WT = μ(μ − λ)

  1. 在系统中（检验站内）停留平均时间（包括检验时间在内）为 W，

则

1

W = μ − λ

  1. 系统中（检验站）排队数量为 n 件的概率为 Pn，则有

Pn

故无工件排队的概率为

P0

= (1 − λ

μ

= (1− λ

μ

λ

)( μ)

 λ

)( μ)

n

0 = (1 − λ )

μ

有一件排队等待检验的概率为

P = (1 − λ

1 μ

λ

)( μ)

1 = (1− λ

μ

λ

)( μ)

有两件排队等待检验的概率为

依此类推。

P = (1 − λ

2 μ

λ 2

)( μ)

  1. 设检验站使用率为 p,则有

λ

p = μ

λ

故闲置率为 P0 = 1 − p = 1 − μ

例 1 假定送检工件平均到达率为每小时 60 件，即λ＝1 件/每分钟。检

验站平均每分钟可检验 1.5 个工件，并采用“先到工件先检验”的服务原则， 则可计算出各项有关数据。

  1. 平均等待检验的工件数为

λ2 1

Lq = μ(μ − λ) = 1.5(1.5 − 1) = 1.33(件)

  1. 检验站内平均工件数为

λ 1

L = μ − λ = 1.5 − 1 = 2(件)

  1. 平均等待检验时间为

λ 1

WT = μ(μ − λ) = 1.5(1.5 − 1) = 1.33(分钟)

  1. 包括检验时间在内，工件在检验站内平均停留时间为

λ 1

W = μ − λ = 1.5 − 1) = 2(分钟)

  1. 检验站不同数量工件等待检验的概率为：

不排队的概率P0

= (1 −

1 ) = 0.33

1.5

一个工件在排队的概率 P1

= (1−

1

1.5

)( 1 )

1.5

1 = 0.22

两个工件在排队的概率P = (1 − 1 )( 1 ) 2 = 0.15

2 1.5 1.5

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯

λ

（6）使用率p = μ

= 1 = 0.66

1.5

闲置率p0 = 1 − p = 1 − 0.66 = 0.34

例 2 汽车挡风玻璃在生产线上加工完毕后，要由检验员进行检验，它的缺陷是表面划伤、污点等。这些挡风玻璃在检验员面前排队等待检验，它的到达率由流水线节拍决定，假定每小时为 x 件，其服务时间即为检验时长， 试求：

  1. 假定每块玻璃所需检验时间为 15 秒，对只有一个检验员的检验站来说，到达率为多少时，检验站的闲置率为 0.05？

  2. 等待检验的平均排队长度是多少？

  3. 如果到达率增加一倍，问服务率要做怎样的调整，才能使检验站的闲置率仍为 0.05，保持不变？

λ

解由于系统的闲置率为P0 = (1 − μ) ，已知服务时长为每块玻璃 45 秒，

即μ＝80 块/小时。故有

0.05 = 1 − 则到达率(λ)

80

则到达率λ=(1-0.05)×80=76 块/小时等候检验的平均长度为

λ2 762

Lq = μ(μ − λ) = 80(80 − 76) = 18.05 ≈ 18(件)

由于闲置率

到达率(λ) P0 = 1 − 服务率(μ)

当到达率增加一倍时，即λ＝76×2 块/小时，而 P0 仍为 0.05，故可求得服务率（μ）为

μ = 2 × 76 = 152

= 160块 / 小时

1 − 0.05 0.95

即应增加一个检验站（包括检验人员和检测设施），或使检验效率提高一倍（这种可能性是很小的）。