混沌的基本概念

让我们用一个非常简单的、与分子体系接近的例子来说明和介绍一些关于混沌的基本概念。

在一个物理体系中，哈密顿量决定了该体系随时间演化的性质。例如：一个相互独立的二维谐振子的哈密顿量为

H = 1 (P² + P² + ω ²x ² + ω² y² ) (1)

2 x y x y

这里 Px 和 Py 分别为与 x、y 坐标共轭的动量，体系的质量被归一化了，ωx 和ωy 是频率参数。因为分子的振动在最粗略的近似下就是一系列相互独立的谐振子，（1）式是有代表性的。

像这样的体系是可积分的体系，求解也容易。它有 4 个积分常数， 对应于体系的四维相空间。它所决定的经典力学的运动是相空间中的周期运动。如果表示在被称为 Poincaré 截面的图表上，我们将看到一系列闭合的有规则的图案，如图 2（a）所示。这样的运动称为规则运动。

如果我们在（1）式上加入非谐振子性的相互作用项，就像大自然的客观存在一样，不满足于谐振子的简单性，体系就成为不可积分的。这样就向实际的分子又靠近了一步。譬如讲：一个体系的哈密顿量由（1） 式变为

H = 1 （P² + P² + ω ² x² + ω² y² ） + λx（y ² + kx ²） （2）

2 x y x y

体系的运动将随参数λ和 k 的增加而在Poincaré 截面上越来越失去规则性，变得漫无秩序，如图 2（b）所示。这时的运动成为混沌运动。

根据玻尔的对应性原理，应该存在着与经典混沌运动相对应的量子混沌。尽管在经典力学中，规则运动与混沌运动的区别明显，但在量子力学中，对于量子混沌的研究尚处初始阶段，因此对是否存在混沌，如何定义它的判据的问题目前尚有争论。不过有一点是明确的，即经典力学下的规则与混沌体系在量子力学下具有不同的能级结构。如果将紧邻能级出现的概率（P）对归一化能级间隔（S）作图，规则体系满足 Poisson

（波松）分布，而哈密顿量有时间反演对称性的混沌体系服从 Wigner（维格勒）分布。这两种分布的形态如图 3 所示，千差万别的物理对象服从普适性的分布，这不能不说是很奇妙的现象。