顺序标度

顺序标度是这样一种标度，一系列事件或对象在其中可从“最多”到“最少”的次序加以排列，但其中没有把对象或事件分开的与被度量的属性数量有关的信息。顺序标度指以大小顺序将对象或事件排队，这样的排队为我们提供的信息是很贫乏的，因此顺序标度被认为是设计真正的度量标度的最初级方法。然而，对于顺序标度是有很多说法的，阿科夫（1962，184—9）提供了关于这些说法的很好说明，托格逊（1958，25—31）和费希本（1964，第四章）则有另一些说明。区分这些不同类型的顺序标度至关重要，因为混淆它们间的性质会产生灾难性的后果。因此，值得考查某些不同的顺序方式。

例如，托格逊（1958，25—31）区分了具有自然原点和没有自然原点的顺序标度。在某些情况下，在某种独特的自然原点附近排队是正或负可能会有争议。例如对优先选择排队，人们可能能够确定一个中性点（有时称为标度中点），在某一边将事物按照正的指标排队（如主动的喜欢），而在另一边将事物按照负的指标排队（如主动的不喜欢）。确定这样一种独特的自然原点会给我们提供很多信息，但它限制了可能导向数据的有效数学变换。一般而言，顺序标度能服从于所用数字的任何单一递增变换（这等于说维持变换的任何次序都能导向原点数据），而不会损失任何信息。但是给定一个独特原点后，此类变换就被约束为维持该独特原点的变换了。

顺序标度中隐含的规则各式各样。根据现象的属性度量 Xi 可以考虑以下三种不同的现象排序方法（阿科夫，1962，184—9）：

完全顺序。这是顺序标度的最彻底形式。它包含以 X1＞x2＞⋯＞Xn 的方式将度量 xi 顺序。不允许两个对象占据标度上的同一点。一般而言，我们可以陈述这一标度是非自反的（元素在其度量中不与任何其它元素相等）、非对称的（x1 和 x2 的关系隐含着 X2 和 X1 的互补关系，例如 X1＞X2，隐含着X2≥X1）、可递的（关系 X1＞X2 和 X2＞X3 隐含着 X1＞X3）以及连通的（所有元素 X1，X2⋯Xn，都可放在标度上）。这样，彻底的顺序包含有关所作度量的大量先决条件，但同时也含有大量信息。
弱顺序。包含 X1≥X2≥X3⋯≥Xn 形式的度量系统。弱顺序与完全顺

序的不同在于存在着自反关系，非对称状态被反对称状态取代（这是指只有当 X1≤X2，和 X2≤X1 时才能判定 X1 和 X2 是同一的）。弱顺序不必在 Xi 中指定一个独特的排序，而且其特点是包括有等价级别。例如，根据社会经济级别将人们排队，很可能包括次序不确定的度量 xi 子集。这样一种顺序标度形式，并不包含那么多关于数据性质的先决条件，但它转达的信息较少。

部分顺序。除了非联通性外，基本上与弱顺序相同。我们可以按照社会经济级别把人口作弱顺序，但是人口中可能存在某一组群，我们对它未掌握任何信息，结果它们必然完全处于标度之外。同样，在要求人们将地方和对象的优先选择顺序时，可能会有某些地方或对象，人们根本没有关于它们的信息，因而它们必然处于我们正在设计的标度之外。如果我们询问的人们从来没有品尝过西印度群岛柠檬果，我们就不要指望对柑桔、香蕉、菠萝和西印度群岛柠檬果之间的滋味优先选择作完全顺序或弱排序。

这三个借以设计顺序标度（也可设计若干其它变种）的不同方法的例子，说明了顺序标度规则的不同变种如何产生出不同的度量系统。

然而，各种顺序标度本质上具有类似的数学性质，并且有从属于类似的数学运算形式。这种标度对任何单一递增的变换都是独特的，这意味着我们可以赋予标度任何大小的数字，只要它们不违背顺序。这样，如果我们在度量某种属性时有三个对象 A＞B＞C，我们可使 A＝100，B＝50，C＝39，或使A＝5，B＝4，C＝0；等等，而毫不改变其基本关系。当开始考查可允许的数学计算种类时，这一数学特性对于顺序标度具有重要的后果。西格尔（1956， 23—6）已详细考查了这一重要问题，他列举了对于顺序数据可用的合适的统计手段，这些手段总结在图 17.1 中。这些信息是很重要的，因为它显示出统计运算如何与所用的标度形式相联系，因而指出度量在把观测与抽象数学统计联系起来时的关键作用。