（3）欧氏几何学

根据以前的讨论，看来好象欧氏几何学几乎没有应用于地理问题。确实，古典的欧氏几何与地理几何比起来似乎“总是幼稚简单，而后者要考虑运输的现实”（托布勒，1963）。从多种方式来看欧氏几何学，它的简单正是它的巨大力量所在。许多非欧几何学极难运用，但我们多么希望用“继续进入

（某一）陌生的和未知的几何学的第 n 维的周期面”（奥尔森，1967）来工作。必须认识到欧几里德仍然给我们提供了在地理研究中有巨大用途的成熟的简明几何学。

欧氏几何学的简单性可以用对两点之间距离的度量的研究来说明。在解析几何中，两点的位置由它们各自的坐标参数给出。让我们假定正考虑一个

两维面，坐标为 x1 x2 和x'1 x'2

存在欧氏平面中毕达哥拉斯定理以

d = 给出了两点间的距离。如果我们假定两点间距

离非常小（ds），且如果我们简化(x1-x’1)和(x2-x’2)为 dx1 和 dx2，我们就有(dx)2=(dx1)2+(dx2)2 它可以扩展到 n 维欧氏空间如（ds）=（dx1）2 十（dx1）

2 十⋯⋯（dxn）2。根据这一表述，现在清楚了欧氏几何学的特定性质是：在

其后的各项之间不存在相互作用。因此在诸 dx1 和 dx2 之间不存在关系。因此我们可将欧氏空间看成是用以下的距离量测系统来描述（阿德勒，1966，282

—3）：

（ds）2=I（dx1）2＋I（dx2）2 十⋯⋯I（dxn）2＋O（dx1）（dx2）⋯⋯ 黎曼介绍了 n 维簇中距离的更普遍公式：

（ds）2 =an11（dx） 2 十⋯⋯am（dxn ）2 十 a12（dx1）（dx2）十⋯⋯

其中每一项的系数是坐标系本身的一个函数。事实上，黎曼将这样一种距离度量是可能的任何系统，都认为是黎曼空间。很明显，欧氏几何学是一种特殊情况，其中所有的（i=j ）。有可能测定在任何黎曼空间中的两点距离，但当采取欧氏条件时，测量距离就简单多了。所以欧氏几何学形成了这些特殊情况中的一种，在这些特殊情况中处理和计算的事例是如此众多，以至于如果运算提供了经验性问题的结构的“合理”表达，则任何问题都可以被纳入欧氏运算中去。我们将在关于度量一章中思考一些真实的重要事例。现在我们把注意力集中于量测地理距离的问题上。

从地理学中的空间概念来说，欧氏体系看来在若干情况中提供了合理的模拟。一个简单的阐述来自航海：环绕地球表面航行需要球面几何（黎曼空间的一个特殊形式），但欧氏几何学为计算距离和角度提供了合理的模拟，假如所涉及的距离比如不超过 250 英里的话。同样，为了通常的目的，我们可以利用欧氏几何学来讨论空间感知和自然空间中的实体分布。在爱因斯坦的相对论中，假设的空间曲率只有在非常大的距离上是可测定的。

在复杂的地理面上距离的度量，如那些由运输费用、旅行时间、社会相互作用或个人的内心地图所决定的面都更难以讨论，绝大部分是由于我们对

这类面的性质所知不多，所以不能肯定地说欧氏模拟合理与否。从局部上来说，例如运输一费用关系可以建立起欧氏模拟为合理的结构。在其他情形中，我们可以发现人类群体行为能用欧氏空间来模拟，但个体行为就不能这样合理地模拟。

还有其它情况，其中欧氏度量很明显是不适宜的（图 14.4）。对于这样的情况，直接运用非欧几何学是可能的，可以证明变换物体及事件间的关系在技术上较为简单，所以它们可以运用较简单的欧氏几何学来分析。后者是最常被选取的，因为非欧几何学或不普遍，或分析起来有困难（在一些情况中两者兼有之）。

大多数空间理论的详述，也求助于欧氏几何学框架。在区位理论的详细说明中，均质和均衡性的假定因此能使欧氏几何学的分析工具应用于理论建设之中。区位论中为人所熟知的假设（如平面、所有方向上的运输流畅以及一致的资源赋存），都是特地设计来使欧氏几何学能处理问题的假设。要符合空间的真实情况，就要考虑用非欧几何学来解决问题。因此，为人熟知的杜能环，被运输费用的变化所扭曲和扰动，在以图解来阐述这点上，冯·杜能实际上提出了一种粗糙的地图变换（托布勒，1963）。

这一领域中最复杂的发展，或许是达赛（1965A）对中心地论的阐述。达赛利用了欧氏几何学有关的许多方法——矢量分析、网络系统，以及在欧氏几何学和数论之间建立的一些重要联系——来阐述中心地体系的几何学。达赛用在一无限平面上重复无限次的特点，将中心地系统视为“建立于平面网络上的特征。”这种特征，是通过将中心地学说中市场面积的地理概念，等同于狄利克雷面积的数学概念而获得的。原先的狄利克雷面积被定义为“一多边形，其中包括在它中心的网络点和比其他任何网络点都更接近那一网络点的面上的每一点”。中心地学说中所包括的竞争过程竟变成了包装问题。达赛对中心地学说的处理说明，一旦地理问题被明确地概念化（达赛发

现在中心地学说通常表达中的一些模糊性），它们就可以用一种合适的数学语言来表达。在这一特定例子中，目的是在数学上描述中心地系统的性质，像它们通常被描述的那样。没有试图从过程基本原理中（例如供需理论）推导出几何学。达赛所陈述的意图仅限于讨论一般用来阐述中心地系统的空间形式图解的数学性质。他继续陈述道：“一种合适的数学体系是可行的，所以这一任务只需要将适宜的几何学与中心地概念并列”。适宜的几何学由欧几里得之外的专门算术和代数学的发展来提供。