空间概念的形式表达

几何学第一次形式上的发展，是随着欧几里得尝试将巴比伦人、埃及人和早期希腊人所积累的用以解释和描述有关平面关系的经验观测和部分理论公理化及综合化而出现的。在公元前 300 年写的《原理》一书是一桩令人惊奇的成熟的贡献，因为它仍然是公理的思想模式和具有极为广泛应用的几何学体系。欧几里德从为他所用的概念奠定一套定义而开始。所以，点（“没有面积”）、线（“没有宽度的长度”）、面（“仅有长度和宽度”）等等都被确定了。但这些定义不是很有用的，所以现代表达认为这些术语是原始的，因此为它们下定义的需要就被省去了。欧几里德发明的几何学导源于 5 条公设。（i）从任何一点到任何其他点可以划一条直线。（ii）一条有限的直线可以以直线继续延伸。（iii）圆可以用任何圆心和任何半径来描划。（iv）所有直角都彼此相等。（v）如果一直线与其他两直线相交，在其一边的两内角之和小于两直角，若再无限延长其他两直线，它们就会在角度小于两直角的那一边相交。

后来表明这些公理是不完全的，在欧氏几何学的发展中有一些隐藏的假设（图勒，1967，3）。也说明了欧氏的公理不是能从中推导出欧氏几何学的唯一陈述（巴克尔，1964，23—4）。不过，《原理》对几何学思想的有效统

治达二千年之久。在这一时期，几何学中的任何新发现，都一成不变地被视为欧氏体系的扩充。因此投影几何学的研究从十五世纪以后变得特别重要（图勒，1967，34），四百年来被认为仅仅只是欧氏几何学对透视问题的逻辑扩充。直到十九世纪晚期，才表明投影几何学可以用独立于欧氏之外的公理方法来发展。奇怪的是，这一独立发展也说明了欧氏几何学可被看作投影几何学的一种特殊情况，后者比前者概括得多。这一观点后面再讨论。

在《原理》的阐述与非欧几何学发展之间的一个漫长时期，并非全是空白。可能最重要的发展是以代数形式表达几何问题。这并非是全新的，因为埃及人和巴比伦人二者看来都用过坐标系统来讨论空间问题。但希腊人似乎大大忽视了这种方法（詹默，1954，23），一直到十七世纪，笛卡尔才令人信服地表明：“每一几何学结果都能转化为代数结果”。（索耶，1955，103）因此在平面上的任何点都可用两个坐标（X ，Y）来表示，这两个坐标从两个相互垂直的轴来测量点的距离（考克思特，1961，108）。几何学的这一代数发展，后来具有非常重要的意义。它使几何学概念和定理扩大到 3、4⋯⋯n 维，并且使复杂的几何学问题通过分析性代数技巧而被解决。

解析几何及微分几何以后的重要发展系以卡特森概念为基础。

这些发展没有对欧氏几何学的至高无上提出挑战。的确，欧几里德几乎太成功了。起初是用来综合有关空间的一套概念，后来变成僵硬的框架，空间的所有概念都不得越雷池一步。哲学家再不去思考空间几何，而是致力于解释为什么观测到的空间关系在《原理》中被假设的抽象公理和推导体系竟描述得如此成功。

欧氏几何学的力量和魅力建立在两个主要特性上。其一，当解释抽象运算时——如欧几里德所设想的——证明它在预测关系上极为有效；其二，公理似乎是自明的，它一点也不缩小感性经验——全都如此，只有第 5 条公设

除外。要解决这第 5 条假设的难题的尝试，最终导致了非欧几何学的产生。

第 5 条公设——一般称作乎行公理——说明对于一条给定直线，存在一条、仅仅一条平行线，它可以通过不在这一直线上的一点划出。这条公理不象它显示的那样自我明确。

存在着不满足于它的事物，因为它包括关于无限的表述；在有限距离内两条直线不能相交的断言超越了所有的可能经验。（赖欣巴哈，1958，3）

因此，试图从其他 4 条公设中推导出第 5 条公设经过了很长历史。这些

尝试都失败了。一些数学家因此想通过两种假设并表明这会引起矛盾来证明该公设的必然性。这两个假设是：（i）经过一点可以划出不止一条平行线，

（ii）通过不在线上的点不能划出平行线。这两种情况都证明可以发现完全一致的几何学。第一种体系产生了洛巴切夫斯基和波里埃几何学——后被称为双曲几何学，而第二种产生了黎曼几何学——后被称为椭圆几何学。这两种几何学都证明是内部一致的（虽然黎曼几何被迫置换了欧氏的第一条公理）。所以很清楚，不同体系的公理可以产生不同的、但象欧氏几何学那样一致的几何学。这一简明的结论给予物质空间的先验概念，给予如康德建立起来的整个数学哲学，并且也的确给予理性的科学思想的整个传统框架以致命一击，而它们都受到欧氏体系的力量和所设想的唯一性的深刻影响。

必须为选择优先于其他体系的一种公理体系奠定一些合理的基础，这一点也很清楚。以现代术语来说，这就是要发现给予抽象运算以有效解释的语义系统。应立刻认识到，这一选择的基础必须是经验性的，而不是数学的。

因而，“数学空间问题被认为不同于物理空间问题”（赖欣巴哈，1958，6）。公理的方法因而为产生非欧几何学提供了一种方便的工具，也弄清了数学空间和物理空间的问题多少有点不同。但非欧几何学还需要解释。

欧氏几何学的最大优点之一是它易于解释，以及解释是有用的，而且只要能表示出来，就是有效的。欧氏体系应用于范围广泛的经验性现象，可以得到理想的结果。非欧几何学的基本困难是要给它们提供任何一种解释（更不必说任何应用了），因为它们具有远离直接感知经验的特性。彭加勒（1952）通过建造洛巴切夫斯基和黎曼几何学在欧氏平面中的一些特性的模型，提出了这些几何学的某种直观解释。他指出，洛巴切夫斯基几何学——或双曲几何——有点象生活在具有圆环特点的自我包含的宇宙中，当接近圆周时尺度就会变小。这一世界的居民，因此从未能接触到它的边界，因为当接近这个宇宙的边界时，任何运动着的物体都会变小（因而以越来越小的增量运动）

（参看图 14.1）。如果这一宇宙的居民没有意识到当接近边界时尺度正在缩小，那么他们发现的几何学就是洛巴切夫斯基几何学。直线距离对他们表现出是弯曲的，三角形内角之和将小于 180°，无限多的平行线可以通过不在一条给定线上的点划出等等。而黎曼几何学却是由生活在球形宇宙中的居民所建立的一种。对他们来说，直线等于大圆距离，三角形角度之和大于 180

°，且由于在球面上所有的大圆都相交，因此不能划出平行线。这种直观解释是有用的（参看内格尔，1961，238—41；索耶，1955，65—88），但它们也可能是错的，因为我们想以欧氏术语来解释非欧的概念和关系。实际上大多数几何体系都设定平面。这就是置于变化的平面之上的物体之间的关系。所以这就导致了探索非欧几何学的第二条途径——短程线（geodesics）。

在欧氏体系中，一条直线被定义为两点间最短距离的轨迹。这样的轨迹被称作短程线。在十九世纪早期，数学家高斯研究了曲面上这些最短轨迹的性质。他表示：“给定任何面，就有可能以全部分布在这一面上的坐标系来表示面上任何形态的数学方程”（内格尔，1961，241）。黎曼能够概括高斯的这些关于最短线的想法，他明确表示，双曲、欧氏和椭圆几何都是作为“黎曼空间”几何学而得知的特殊情况（以及其中非常简单的情形）。这一方法的基本观点是，“所要求的几何学种类是为了定出空间度量而采取（或心照不宣地利用）的规则的一个结果”（内格尔，1961，246）。据黎曼看来，没有必要提出一个公理体系来叙述不同空间的性质。一种空间的性质可以用分布于这一空间的短程线形式来充分确定。因此，在平面上，短程线会是熟悉的欧氏几何直线；在纯粹的球面上，它们会是大圆弧。但分布在任何面上的最短线和坐标系根据平面形状、或运用有点使人误解的术语——平面的曲率，可以假定无穷多种形式。洛巴切夫斯基和波里埃的双曲空间是常量负曲率空间，而黎曼的椭圆空间是常量正曲率空间。欧氏平面空间是曲率为零的空间。每一种感知到的形状，从平板到亨利·摩尔塑像，都可以给出一坐标系，它确定形状的真实几何。而这种理论是如此概括，以至于黎曼设想它可以扩展到三维以上。因此，如果有黎曼的一般理论，就有可能讨论 n 维空间。

二维和三维黎曼空间可以给予一个直接的直观解释，但黎曼几何的物理学应用则不是马上就明确的。黎曼本人通过指出空间均质度量场的假设是理想化的，以及“正象磁场或电场的物理结构取决于磁极或电荷的分布一样，空间的度量结构则由物质的分布来决定”（詹默，1954，159），来预料相对论的一些主要思想。爱因斯坦则应用了黎曼的一般理论，因为

相对论物理学把几何结构归属于物理空间为一类似于球面的三维空间，或更准确他说，类似于一个土豆的封闭的和有限的表面，其曲率各点不同。在我们的自然宇宙间，一定点上的空间曲率由其邻域中的质量分布所决定；靠近如太阳这样的巨大质量，空间被强烈地弯曲；而在低质量密度区域，宇宙的结构近似于欧氏空间。（亨普尔，1949，248）

不同的最短线系统的研究具有不同的坐标系和不同的形状之蕴涵，形成

了通往几何学的新形式的捷径。反之，它导致了特别与费利克斯·克莱因在十九世纪末的工作有关的第三种方法。克莱因（1939，159—60）所陈述的意图是

运用逻辑手段，在尽可能简单的基础上建立几何学的整个结构。当然，纯逻辑不能提供基础。只有在我们具有了由一定的简单基本观念和一定的简单表述（所谓公理）以及符合于我们感知的最简单事实所组成的系统以后，才能应用逻辑演绎⋯⋯公理体系必须满足的一个条件是（它）必须有可能从这些基本观念和公理之中逻辑地推导出几何学的全部内容，而不进一步诉诸于感知。

克菜因的体系和皮亚杰对儿童的——空间概念发展的观察并行不悖，令

人注目。克莱因想方设法将他的几何学建立在物体的拓扑结构的特性上。他的几何学因此基本上是非度量的——其本身就是许多数学思想定性性质的重要指示者。拓扑学就依靠一定重要特性的表述。例如，球面本质上不同于平面，因为它是封闭的和有限的，而下是开放的和无限的。一个球体即使没有变形成立方体、没有变成一个土豆的形状也能被歪曲。这样扭曲的性质即是它所包含的，转换在所有点上是唯一的和连续的。这一表述的涵义需要进一步阐明。假定我们将球面上的一系列位置绘于一平面上（这是地图投影的基本问题）。在纸上各点之间的关系可以局部地表示球面关系（例如伦敦、伯明翰和布里斯托尔等位置没有被变形），但在一幅典型的墨卡托地图上，日本距西雅图看上去位于世界的另一端。在球面点向平面点转换的某一点，点之间的邻域关系必须被割裂。转换不能既是唯一的又是连续的。另一方面，球面上的点可以绘制到一正方形上，以使转换是唯一的和连续的。一般地，这样唯一和连续的转换的原则是表面可以弯曲延伸，但不能被撕裂（图14.2）。克莱因的几何体系完全以转换的概念和在一系列转换下图形特性保持不变为基础。他的定义是：

几何学就是当 S 的要素经受某种变换系列的变换时，对保持不变的 S 的那些性质进行研究（图勒，1967，70）。

这一定义的准确涵义难以表达出来（参看克莱因，1939；图勒，1967；

内格尔，1961，246—8），但如邦奇（1966，215—29）和托布勒（1963）所指出的，通过参考地图投影的传统地理问题，还是有可能了解它的一般意义的。例如地图投影分类的一种方式，就是表述保留在平面投影上的球面性质。要保持所有的性质不变是不可能的，特有的一组转换是努力保持位于球面上的物体面积不变的各种投影。这种等积投影将所有面积看作是克莱因定义中的 S，并且在变换中保持 S 的每一要素不变。其他投影如等角、等距投影等可以用同样方式来下定义，每一种都可以形成一族投影，它们满足某种性质或其他性质在变换中应保持不变的条件。应用变换最有趣的一些工作是阿西·汤普森（1950）所作的，他利用变换技巧来说明生物形态之间的联系（图14.2）。

图 14.2 阿西·普普森用来表示各种螃蟹甲壳之间关系的变换。可以辨认

出相同的基本形状。但在每一情形中，它被置于不同的坐标系中。（据阿西·汤普森，1954）

地图投影成为包括在克莱因几何学一般体系中的一种特殊情况。从一组原始术语（如点、线、面等）及这样变换的原则为起点，克莱因能够从拓扑学经过投影和仿射几何学发展到欧几里德、洛巴切夫斯基和黎曼的公理体系。对几何学的这一分析方法将所有几何综合成为一个一致和连贯的系统，并为鉴别非欧几何学的性质和形式提供了另一种手段。

图 14.3 说明各种几何学内部关系的示意图。拓朴学位于包括所有各种等级几何学在内的顶端。（据克菜因，1939；阿德勒，1966，351）

通过公理、短程线和变换，这三种研究方法指出了关于形式几何语言的结构及性质的一些结论。由于每条定理可以从规定的公理中推导出，公理方法就给予了几何学以完全的规定。另一方面，从只有明瞭空间的所有性质时，几何学才能完全被规定的意义上说，短程线方法是不完善的。通过变换的方法旨在规定一些性质，因而是不完善的，虽然它可以在公理中包括作为特定情况产生的几何学。克莱因体系也说明了在几何学的全部等级体系中，一种形式几何学如何能与另一种联系起来（图 14.3）。

但克莱因的统一几何学体系在由希尔伯特（1962）、怀特海德及罗素（1908

—11）完成的更为广泛的数学综合中仅是一个要素。这一综合旨在说明数学的所有分支都可以在数学逻辑之外得到发展，空间语言是句法系统远为广泛的等级的子集合。这一论点将在以后章节中从地理学角度来探讨。

这其中包括的一般涵义是各种数学体系都可以与几何学联系起来。因此笛卡尔提出的几何问题的代数表达，只是许多可能的关系中的一种。所以有可能用矢量代数的方法来研究几何学。将微积分应用于曲率的研究（微分几何，几何学的一个分支）是可能的，有可能将几何学与概率论（肯达尔和莫朗，1963）、几何学与数论、网络理论等联系在一起。所有这些相互关系，伎形式几何学问题在某种非此即彼的以及可能更易于处理的句法系统中得以产生。它也意味着空间概念和思想可以用大量可能的运算在形式上表达出来。适于地理学应用的模型语言可以有无限多种，而事实上目前也是数不清的。因此探讨地理学家既在他们学科的方法论发展中，又在经验性研究中借助这类形式空间语言到何种程度是合适的。