（2）投影几何学和变换

已经指出一种空间语言可以看成是一套确定一种坐标系的规则。规定将一种坐标系变换成另一种的规则是可能的。这些规则提出了从一种空间语言到另一种的转化。这种一般看法，对于将形式几何学应用于地理问题具有直接意义。

地理学家在整理资料中所面临的最古老的技术问题，或许就是地图投影，因为球体的纬线和子午线需要在乎面上画出。对这一问题可以采取各种方法。托勒密和墨卡托特别考虑到这一点，并试图推导出几何学的解决办法， 在其他情况中——如 T-O 地图和中世纪的波多伦航海图——却没有有意识地解决这一问题，但是如托布勒（1966 A）所表明的那样，这样的地图意味着一种投影，即使它们没有说明是哪一种。

地图投影的现代处理依靠形式投影几何和解忻几何。这一研究的历史可能是在 1772 年从兰伯特开始的，在他的分析处理之后，几位数学家，包括拉格朗日、欧拉和高斯，写下了论述这一问题的论文。托布勒（1966A）①评论了这一发展。因而：

高斯的贡献是重大的。特别是他并没有非难在一平面上表示球体的如此简单的问题，而是考虑了在一任意面上表示另一任意面的普遍问题，以这样的方法来保持相似关

① 我感谢托布勒博士提供未发表的手稿并特许从中援引。

系。因此他运用复杂变量，得出了解决这一由兰伯特提出的相似表示的普遍方法。他通过创立微分几何学——现在为深入研究地图投影的基础——而继续研究。

地图投影在这一历史时刻与形式几何学联系在一起以促进后者新的形式

化。这些发展能使地图投影被解析性地研究，换句话说，规定从一种坐标系变换到另一种的规则可以专门阐述。梅卢伊什（1931，2）将其叙述如下：

当绘制一幅地图时，在其上的每一点根据某种给定的定律而被确定，这一定律以地球上相应点的坐标来表示地图上这一点的坐标。这种定律被称作投影，据此可以绘制地图；投影方程是那些给出大地坐标和地图上点的座标之间关系的方程。

解出这类方程系统需要形式几何方法。这些方程系的特性可以进一步被

解析性地研究。所以，蒂索特（1881）才能进行有关地图投影变形的普遍研究。托布勒（1966 A）写道：

如果目的是在平面图上保持某种球面特性，当做到这点时，其他特性将会怎样？在等积投影上角如何变形？等等，蒂索特的特征曲线在局部意义上可以较容易地回答这样的问题。

蒂索特提出的特征曲线（梅卢伊什，1931，98）使许多选定的特征的变

形得以度量，因此它能根据选定的参数合理地选择投影。例如，假定选取了一相似的投影（保持角度不变），那么就有可能选择一特殊的投影，它对于一给定的面积而将面积的变形减小到最低限度等等。解析形式几何学有重要的应用。

但是地图投影的详尽研究一直到最近在地理学中还没重视起来。因此哈特向（1939，398）不把它看戍是地理学的一个组成部分。对投影问题缺少兴趣，部分地可以归咎于相当正确的断言，即认为将球面投影到平面上的问题已经基本上解决。但正如我们已指出的，如果地球以活动性来说是比球体远为复杂的形状，那么地图投影的整个问题以一种更为复杂的形式重新提出来。这就使我们要研究地图变换的现代问题。

图 14.6 在瑞典阿斯比的迁移场中，重要地方的位置的对数变换（据哈格斯特兰，1953）。

已经表明在各种研究中可以用各种方法测定距离，以及根据区域内发生的活动量，区域可被变形。为了解决这些问题，己建立起了粗糙的变换，如哈格斯特兰（1953）的对数地图（图 14·6）和哈里斯（1954）的美国零售图，其中每一州的大小与其零售量成正比（图 14.7）。同时也说明了理论系统，例如克里斯塔勒的中心地模型，不经某种变换就不能应用于地理情况中

（图 14.8）。托布勒（1963）说明了所有这些问题可以用投影和变换的方法分析性地讨论，因为每一种都要求用一种特殊的规则将一种坐标系转换成另一种（图 14.2）。正像所有的地图投影问题一样，困难在于从无限多种变换中选择最合适的一种。在这一方面，蒂索特的分析工作再次具有很大价值的。例如，托布勒（1963）指出，如果变换的基本目的是一张密度不均的地图经过这样的方式之后，密度得以一致的话，那么适宜的变换就是一种尽可能形状如实的变换（即给出最小角度变形的一种）。托布勒总结道：

可以获得有价值的地图投影，它并不符合传统地理学所强调的保持球面面积，而是细致地扭曲面积以“消除”地区资源蕴藏的空间变异。这些地图以多种方式比地理学家运用的常规地图更为真实⋯⋯。当然，重要的一点不是变换扭曲了面积，而是使它们的密度分布均匀。

这样的变换包括将三维坐标语言（x、y、z）——可用于描绘丘陵、圆岗及洼地的表面（根据活动的密度）——转变成两维坐标语言（X，Y）。这可以运用形式解析几何来实现，这正是托布勒阐明了形式几何学方法对于这一极为复杂问题的效用的独一无二的成就。