数学语言

符号逻辑学为我们提供建立和理解人工语言系统的必要工具。怀特海德和罗素在他们的《数学原理》（1908—11）中最后成功他说明数学知识可以从逻辑原理中推导，并且利用形式化语言手段重新阐述了几种数学体系。《数学原理》的发表标志着有关数学知识性质的哲学思想一个重要阶段的终结， 但它并不标志争论的结束。纯数学的本质仍然是很多争论的主题。柯勒

（1960，156）说：

纯逻辑学家说，这就是逻辑；形式主义者说，这就是数学式中数字的运算；直觉论者说，这就是暂时直觉媒介的建立：逻辑实证论者说，这就是比某些逻辑表述更易丢掉、而比经验性表述更难抛弃的表述。还有不少折衷的看法。自布尔和弗里奇以来，数学逻辑的进步就与关于数学本质的哲学争论的延续几乎没有什么差别。

一般都认为数学是科学的语言。因此，对于我们理解地理研究中数学的

应用，可在数学表达和直觉之间建立的联系的性质就变得重要了。这是一个复杂而困难的题目，在这里不能详细讨论。柯勒（1960）和伯思（1965）进行了充分阐述。从关于数学的哲学的一般讨论中，我们至少可以得到数学所没有的一些清晰观念，从而避免了一些易犯的错误，它们是将数学模型用于经验性研究的障碍。

据休谟看来，数学真理是分析性和先验的——即数学真理通过定义才完全是真实的，这样的真理不能根据经验而建立。但据 J.S.米尔看来，数学可以视为一种经验性科学，其中表述的真理可以根据经验而建立，用哲学术语来说，即数学知识是综合的后验（synthetic a posteriori）。但据康德看来，数学知识是综合的先验（syntlietic a priori）。数学知识的这种复杂化了的观点，表明数学表述具有经验性内容，虽然表述本身没有根据任何经验上确定的主题构成。因而在经验上不能获得欧氏三角概念——它是一种先验建造；然而在描述空间的点实际上如何排列三角的概念是成功的。

十九世纪数学和哲学的发展在一些重要方面解决了这些冲突的观点。新几何学的发展，如洛巴切夫斯基和黎曼（参看下文，第 241—244 页）阐明了欧氏体系只是许多可能的几何学之一。皮亚诺和以后的学者如罗素，说明了数学的每一概念可以通过三个本原词“o”、“数”和“后继者”而确定；以及数学的每一命题，可以用一组非本原词的定义从 5 条公理中推导出，这是成功之举（亨普尔，1949，228）。这也说明几何、代数和算术都可以简化成一组基本假设。结论是必然的。数学是一种形式语言系统——未经解译的运算。因此，它是一种彻底的先验知识，无论如何，纯数学体系没有经验性内容。

但是这种结论导致一种明显的自相矛盾。数学体系被用来获取关于经验性主题客体的信息。欧氏几何被用于测量问题，黎曼几何被用于爱因斯坦空间，数论用于工程和经济问题，等等。这只是想说明先验句法系统 K（数学运算）可以通过语义系统 S 给予解释。因此从这一意义来说，米尔把数学看作是一种经验性科学是对的。给予纯数学表述以经验性解译是可能的，并因而可将抽象概念转变成经验性概念，反之亦然，纯数学可以视作句法系统， 应用数学可视作语义系统。亨普尔（1949，237）因而得出结论：数学体系是“一种无经验性内容的庞大和精巧的概念结构，也是科学地理解和主宰经验世界必不可少和强有力的理论工具。”

这种数学的观点有若干重要涵义。如果数学是一种先验的分析性知识， 我们就不能从其中学到我们未知的任何东西。但数学是一种极为有效的语言，它能使我们获取信息，而用其他方法就会十分困难或在心理上不可能获取。在其经验性应用中，数学作为一种“理论榨汁机”的作用，它可以只将已得到的信息抽象——而在特殊的一组假设中，比起我们能轻易地感受到的有更多的信息，数学则有非凡之力来抽取这些信息（亨普尔，1949，235）。

接下来，具有纯形式化的数学也与定量化和量度没有必然的关系。经验性科学中，数学思想的非凡力量大部分来自能轻而易举地处理定量问题的能力。但应用数学的许多领域与量度没有关系。这种“相关数学”（如有时称呼）领域在定量化困难的学科中有重要的实际应用。因此拉德克里费一布朗

（1957，69—89）和列维一斯特劳斯（1963，283）都指出，数学逻辑、集合论、组合论和拓扑学可用于讨论人类学家关注的许多定量问题。许多社会科学（以及人文地理学）因而借助非数量化数学来研讨结构和相互作用问题。显然数学思想不一定包含定量化。