概率论的演绎发展

概率论的各种定理，由科尔默戈罗夫于 1933 年整理成一个统一的公理体系。从此以后，设计了很多公理论述。麦克卡德和莫罗奈（1964，20）、林德利（1965，I，6—11）提出了大量差别悬殊的公理论述，而费里尔（1957）提出了一个严格的、但非公理的说明。这里无意讨论这些公理表述。但重要的是要记住概率论与所有的公理性数学体系一样，只与各个未确定的事物之间的联系有关。这些公理提供了一套确定各种抽象本体之间关系的规则。然后可用这些规则推导定理，又可以把定理结合起来以推导更复杂的定理。

这些定理没有经验性含义，虽然它们可以用经验现象的术语给予解释。重要的一点是：数学上的概率论发展，无论如何不取决于对该理论的解释。如同任何公理体系一样，数学的概率理论依靠一套原始概念和公设的表

述。几何学运用诸如“点”和“线”这样的术语——概率论则运用诸如事件和样本空间这样的术语。概率论的原始表述来自集合论。这些表述，可以用与几何学的原始术语以点和直线来表示的同样方式给予解释。但这要求对概率论有某种一般解释，而且为说明起见，将给出一种频率表达。

数学的概率理论中的基本原始概念是样本空间。考虑一个我们掷一枚硬币的试验。所有可能的扔掷都被赋于特性，即形成一个样本空间。样本空间包括所谓的样本空间元或基本事件。在这一例中，每一基本事件可以是一次试验（掷硬币）的结果。我们用集合论概念，将样本空间定义为 A＝（a1， a2，a3⋯）。然后我们可以考虑样本空间的任何子集，我们将其称为复合事件，或有时就称事件。在我们的例子中，一个事件可以是所有记为正面（头像）的抛掷。如果在样本空间中仅有两事件（如正面和背面），那么我们就有条件 A＝（A1，A2）。这里介绍相互排斥事件的概念是很重要的，因为它对于数学的概率论发展也是个基本概念，如果由两事件相交形成的集合不含元

（或 A1∩A2＝Ф，空集），就可定义为两事件相互排斥。在此例中，显而易见正面和背面就是相互排斥事件。至今，我们已用的所有术语对概率论来说都是基本的，并可把它们放到集合论语言中去。还要做的就是：将概率定义为在样本空间子集上确定的集合函数，简单地说，就是指将数值（元）分配给包括在样本空间中的事件的规则。这一规则将数值赋予获得正面的概率，

例如说 P（A1）；也赋予获得背面的概率，例如 P（A2）。于是我们就可以阐述分配的数值必须符合的三个基本公理。

对于每一事件 E，P（E）≥0（即非负）。
对于必然事件 S，P（S）＝1。
若 E∩F＝（空集），则 P（E∪F）＝P（E）＋P（F），

这是附加规则，它表明两相互排斥事件之并集的概率为它们的概率的和。

以上表述为数学的概率理论提供了基础，当然，还有若干不同的可行形式，但它们都非常相似（帕曾， 1960，18；麦克卡德和莫罗利，1964，20；林德利，1965，I，6。

在此，有必要稍微离开有关样本空间性质的主题，并特别要注意概率论对任何经验现象的应用，取决于找出适合这一抽象理论概念的可行定义（或解释）。在上面所举例子中，样本空间包括无限多个元，因为我们可以无限地掷硬币。然而，假定空间被想成只包括一副普通扑克的 52 张牌，在这种情况中，样本空间包括有限的元：虽然如果我们替换地抽样，就可以从中产生无限系列。假如我们问：抽一张牌的花色是什么？对此有四种答案，我们可以将样本空间想成包括四种互斥事件。但如果我们问：这张牌的数目或画面是什么？则样本空间就有 13 种互斥事件。因此样本空间可以根据我们希望如何将它概念化而随意变化。所以样本空间的数学概念，只是通过我们询问的问题才具有某种解释。正如帕曾所说（1960，11）：

在概率论是随机现象的数学模型研究这一范围内，它不能为样本描述空间的建立制订规则。相反，随机现象的样本描述空间，是作为数学理论出发点的若干未定义的概念之一。一个人选择正确的样本描述空间来描述一种随机现象时所作的考虑，是将数学的概率理论应用于现实世界研究之艺术的一部分。

我们提出的问题是否合理，这是地理学的、而不是数学的判断。但如果

要利用概率运算，我们必需首先提出能使我们构筑样本空间的问题。同样，数学理论也并未告诉我们，一种集合函数如何被分配给某一事件，虽然如果要采用概率运算，它确实告诉了我们必须满足的条件。因此，选取用以估计概率的特定方法是经验性的，而不是数学问题。

从概率论的公理中可以推导出大量定理。这些定理与包含在样本空间原始定义中的抽象，以及包括在这一样本空间中的事件完全有关。详述包括在样本空间中的点是作得到的，在此空间中，每一点（基本事件）对任一特定试验都有相当且独立的发生机会。然后可以推导出描述事件的各种概率函数的数学特性。所以，能够确定概率的分布，它们的特性也可以阐明。根据一个样本空间确定的最重要分布是二项分布、正态分布和泊松分布。在概率模型应用于实际情况时，它们具有非常重要的作用。

如果将相等机会这一条件放宽，就有可能通过概括或复合简单的泊松定理，得到整个复合级数或广义分布，如负二项或奈伊曼 A 型分布。独立性标准也可以放宽，推导出的定理就可以应用于一般随机过程。随机游动、马尔科夫链、排队论和更新论。出生-死亡过程、移居-迁移过程等等，都可以从数学概率的基本公理开始，用演绎方式加以研究。

数学的概率理论中所包括的命题和定理的整个复合体，这里不再加以评述了。巴特里特（1955）、费里尔（1957）和林德利已作了充分说明。但要简要地提一下两个命题，因为它们将概率论的演绎和归纳研究联系起来，并

有助于说明概率的概念，如何可以应用于某些经验现象。中心极限定理，以及它的远亲——大数定律，都是极为重要的定理。现将它们叙述如下：

中心极限定理说明：“具有有限均值和方差的大量同等地独立的分布的随机变量，标准化后均值为零，方差为 1，其总数近似于正态分布”（帕曾，1960，372）。
大数定律可以用若干不同方式来陈述。在目前情况下，可能最容易的是伯努刊形式，其表述为：“当试验次数 n 趋于无穷大时，在 n 次试验中成功的相对频率趋向于每次试验中成功的真实概率。从概率意义上即是说，当试验次数无限增加时，观察到 F 和 P 之间任何非零差的可能性越来越小”（帕曾，1960，229）。

中心极限定理和大数定律两者均可从概率公理中推导而出。它们为设想 P 收敛于某一极限值的各种频率解释，提供了理论上的证明。在频率解释中，这两条定律经常被假定为真。但是，这两个定律也定义了在指定的抽样步骤情况下，从样本空间中抽取的样本之性质，并因此有助于在实际资料集合中，为鉴别随机性提供标准。但在许多情况中，不可能指明这样的随机性，而这时频率论者通常满足于假定随机性。

中心极限定理和大数定律，对于概率的相对频率解释，具有很重要的意义。从数学样本空间重复抽样导致 r（A，R）收敛于 P（A，R），这样的收敛特性可用来说明一种“标准的偶然状态”，而随机抽样步骤可以其为基础（前文，第 285 页）。概率运算对于重复事件的应用，在相当程度上有赖于这两条定律。很多统计推断的经典理论也依靠这两条定律。

数学的概串理论为讨论简单和复杂的“随机”现象及不确定状况，提供了精致而有力的运算。这种运算的经验意义，取决于我们解释运算的能力。这种运算在地理学中的应用将在后面讨论。