分类的逻辑

所以要规定支配分类系统发展的逻辑规则，是为了保证内在的一致性和连贯性。这些规则也显示出分类系统为何能够形成。可以用普通逻辑的方式陈述这些规则（斯蒂宾，1961，第 5 和第 6 章），或者用集合论（theory of set）表示它们（塔斯基，1965；斯托尔，1961；克里斯钦，1965）。我们将采用集合论的方法。

如果我们将由基本信息部件——称为“比特”①——所组成的现实世界中发出的信息流加以概念化，那么我们就能把每一元素及其所拥存的某些属性或性质联系起来，这正如把每一元素与描述各种属性和性质的一系列符号联系起来一样。我们可先用小写字母 a 、b 、c⋯⋯来表示这些元素，然后我们定义某种集合，用大写字母 A、B、C⋯⋯来表示，其中每一组元素都具有某些共同的属性或性质。我们可以根据一个给定元素 x 是否具有必要的性质来确定它是否属于集合 X。如果 x 是 X 集的成员，我们记为 xeX；如果 x 不是 X 集的成员，我们记为 x∈X。某一特定的元素 x 可能属于很多不同的集合，于是，一个公司可以属于生产钢铁的若干公司的集合 A，也可属于拥有一千名以上雇员的若干公司的集合 B，还可属于其股票在证券交易所中开价的若干公司的集合 C，如此等等。在这种情况下，我们记作 X∈A、X∈B、x∈C, 等等。

现在可以用两种方法——枚举和定义来描述集合。用枚举法来描述，就是罗列集合内包含的全部元素，例如用常用的大括号来表示这种方式描述的集合，我们可将集合记为｛a，b，c｝，此集由三个元素 a，b 和 C 构成。我们还可这样表示：bC｛a，b，c｝，而 x￠｛a，b， c｝。然后就能检验｛a， b，c｝的组合，以找出 a，b 和 c 所共有的性质或属性，这实际上就是一种直观的组合过程，然后顺着如此组合的各个对象去探索，以便发现它们所共有的性质和属性。用定义法来描述，就是标定某种特定性质必须由集合的成员来满足，而不是由别的。这里，我们从性质或属性以及相应的组合入手。于是，如果我们正考查以如下性质定义的集合 A，即这是一个生产钢铁的若干公司的集合，则记作 X￠A（式中，X 是一个生产钢铁的公司）。当我们事先就有关于在给定情况下作分类的有关性质的知识时，这样一种描述集合的方法显然将更为适用。

当集合以某种适当的方式予以描述，然后我们就能够诉诸对集合论的运用，以讨论集合间的相互关系和某些分类系统的演变。对集合之间的相互关系可作如下一些规定：

“如果 A 和 B 是这种相关的集合，即 A 的每一个元素也都是 B 的元素，则说 A 是 B 的子集”（克里斯钦，1955，46）。这种情况将以 A∈B 来表示。按照这个定义，则每一个集合都是其自身的子集。为避免这种问题，将除集合本身以外的任何子集规定为真子集（proper subset），记为 A∈B 。如果 A 不是 B 的真子集，则记为 A￠B。于是，如果 A 是有 1 百万以上居民的所有聚落的集合，B 是有 1 千以上居民的所有聚落的集合，则显然集合 B 包含有集合 A，因而 A∈B。但是，这并不能得出相反的关系，因而 B∈A。这就给出了两个集合间等值的情况，即 A∈B B∈A。
我们可以以特定的方式把几个集合联合起来，这种运算在发展分类系统时是很有用的。两个集合 A 和 B 的并集，记为 A∪B，这定义了一个新

① 比特（bit），信息量单位。——译者

的集合，它所具有的元素或是 A 的成员，或是 B 的成员，或既是 A 又是 B 的成员（图 18.IA）。两个集合 A 和 B 的交集记作 A∩B，也产生一个一新的集合，其成员既属A 又属B（图18.1B）。余集（complement）则概指泛集（universal set）U（为某种特定讨论目的而定义）中所有那些不是某个指定集合的成员的元素。集合 A 的余集记为 A ′ （图 18.1C ），它被下式规定：

A′＝{x∈U: ～( x∈A)} ，用文字表达就是：集合 A 的余集由泛集 U 中 A 所包

含的元素以外的所有元素组成。

为熟练地运算而定义没有元素的空集Φ，是很有用的。它所以是空的，可能不过是因为我们不能找出可以放进去的元素（例如 5 千万以上人

口的城市），或因为所规定的几种性质相互排斥（例如有 1 百万以下，并有

1 百万以上居民的所有城市）。

用集合论处理分类的作用在于，它使我们能用公式表示门类形成的一致规则。我们基本上可以从两种途径着手，根据某种特定性质划分泛集 U（比如对所有城镇）；或把元素组合为集合，再把这些集合组合为更大的集合，如此再组合等（凯梅尼等），1957，第 2 章及第 3 章）。在划分的情况下，我们可以根据某种特定性质划分，以保证 U 的子集都互不连接，并详尽无遗。这样，U 分割为一组集合 A1，A2⋯An，而且仅当

Ai∩Aj＝Φ，式中 i 和 j 为任何二个集合，且 i≠j。
A1∪A2∪⋯∪An＝U。

然后才可能以进一步的指标分割 Ai。假设我们将 U 分为 A1，A2，⋯⋯An，并分出另一部分 B1，B2⋯⋯Bn，以致 Ai 和 Bi 两部分都互不连接并详尽无遗，则能够通过考查 U 的所有 Ai∩Bi 形式的子集而形成新的部分。我们还可以用这种方式将泛集继续划分下去，在每一阶段都引入新的划分指标。

组合程序则是从不同的方向着手。单个元素 x 可以看作仅仅由其本身而无其它元素所组成的集合｛x｝。然后可以根据某些相似性指标组合集合

｛x1｝，｛x2｝，⋯｛xn｝。这样，｛x1｝∪｛x2｝可能等于 A,｛x3｝∪｛x4｝

∪｛x5｝可能等于 B,如此等等。这样形成的集合又可产生高级的集合，这种步骤能够继续进行，直到集合的最终并集产生出泛集。

这些分类步骤或规则需要某些重要的指标，以保证此种分类系统的一致

性。因此，要特别注意指标的详尽性（即若给定泛集 U 的定义，则无对象遗留在分类系统之外）以及互斥性（即无对象能同时分派给两个不同单元）。然而，在设计一个分类系统时，关于要用一些什么实质性的指标，或这些指标如何使用以及按什么顺序使用，此类逻辑特性并未作出任何回答。这基本上是一个以经验为根据的问题，因此我们又回到将这些抽象逻辑格式实用化的问题上。但是，在详细考查这些步骤以前，先考查分类的一些目的，和选择性质或属性作为分类指标时固有的一些问题，将是有益的。