数学语言的运用

据以上提出的观点，纯数学与感性资料世界可以没有逻辑关系。纯数学

只运用抽象术语和相关的符号。数学与知觉感受的这一区分，产生了若干困难的问题（图 13.1）。其中最重要的可以两种问题的名义汇集起来。首先，在对公理的选择及一种特殊的数学语言规则的影响上，感觉可以起什么作用？其次，在知觉感受资料的相关意义上，什么是支配这种抽象数学语言应用的规则？

图 13.1 在解决问题中数学的应用

如卡纳普所指出的（第 219—220 页），可以用所设想的解译来选取一个特定的句法系统。例如，在后两章中，将探讨对几何学和概率论的不同公理的处理。每种情形中，在知觉感受经验成为一种特殊公理形式的解释中，可以发现许多例子。克莱因对几何学基本原理的研讨（第 245—8）以及内格尔对概率论基本原理的研讨（第 276 页）或许是最雄辩的。但是公理的实际形式化是一分析性活动——它相当于以一些本原词、定义和规则来建立系统。这有点象发明一种新而复杂的游戏——一种以符号来玩耍的游戏。

数学家在建立这类游戏的真实动机——需要解决某些经验性问题或是直接迷恋于建立抽象符号系统——不一定与我们有关。但这一符号系统和现实世界情形之间的联系却至关重要。无论欧几里德的动机是什么，他建立的体系肯定能使许多经验性规则系统化，而这些规则是巴比伦人、埃及人和希腊人涉及到平面图形的数学形式而发现的。欧几里德设法发展一种形式化空间语言，它可以如此翻译，以此预言已知的经验规则和新规则。欧氏几何学的这种能力无疑为从希腊人到康德的许多数学家和哲学家关于几何学是一种经验性科学的信仰做出了大量贡献。就解释包括（及预没有）量度的几何体系来说，可以赞成这一观点。但以后的发展表明欧氏几何学不需要直接的经验参照。在运算 K 中应用的术语可以利用语义系统 S 给予解释（即点、线、角等可以近似地表示），这一事实说明欧氏几何学起到了解释的数学语言的作用。

可以产生无限数量的数学语言。从这无限多的假说中，一种特殊语言的发明和精密化，部分取决于纯数学家对一种特殊的语言形式的内在兴趣，部分取决于那种语言对于科学家的效用。因此，一直到生物学和物理学的问题使彻底研究这一特殊的数学语言成为必要时，概率论才丢掉了仅用于机遇游戏的奇特性。由于发现了一种特殊语言的新应用，才产生了语言本身的新问题。数学语言的扩充和这种语言应用的发展之间的相互作用，因而具有某种重要意义。但语言的应用，取决于能用感知资料和以经验为基础的概念来解释数学符号。

通过讨论控制着将经验性问题融人现行的数学语言中去的规则，这一问题可以得到最好解决。这就相当于确定规则，根据规则，我们可以说出何时语义系统 S 对于抽象运算 K 是有效的解译。叙述一套逻辑规则是可能的。因而，卡纳普（1942）认为，语义系统 S 应与运算 K 同型。当然，这是逻辑学家关于理论（S）和模型（K ）之间关系的特有观点。只是这一观点在经验上不很有用，因为它致力于宣扬现实世界的结构和用以探讨这一结构的数学语言之间的同型性。因此，有必要假定我们已经知道现实世界的所有结构—— 换句话说，K 起的是后验模型的作用。实际上在将现实世界问题融入数学体系之中包括若干步骤。它们由柯勒（1960，182）描述如下：

（i）经验性概念和命题被数学概念和命题所代替，（ii）从如此提供的数学前提推

导结果，以及（iii）导出的某些数学命题被经验性的命题代替。人们还可以加上（iv）最终提出的命题的实验证实——但这是实验科学家而不是理论家的任务。

在这一程序中的第一步可能是最要紧的。经验性概念必须从不精确的现

实世界中提取，然后被精确的数学概念和命题取代。如果经验性概念和命题以模糊和模棱两可的方式形式化，那么决定那种数学语言究竟是适宜的就会变得极为困难，将经验性命题和概念转化为数学的命题和概念也很困难。因此，应用数学语言必备的先决条件就是形成的概念和命题具有精确性。在社会科学的许多学科中，这方面的失败是一普遍问题。因此科尔曼（1964，3）指出，在社会学中词语理论的种类和已显示的研究成果是如此含糊地叙述或如此薄弱，以致将它们转变成数学语言很困难，一旦转变，它们又常常不能显示与数学的强有力部分一致的同型性。

仅仅运用数学符号并不等于将某种理论设想恰当地融合到运算中去。所以马萨里克（1965，10）批评许多社会科学家运用“缺乏恰当数学意义的记号的模糊系统。”仅仅陈述 Y＝f（X）本身是没有多大用处的。阿罗（1959， 149）严厉地批评过齐普夫在《人类行为和最小努力原则》（1949）中运用的数学语言：

没有一处明确阐述过基本假设；虽然经过长期工作，将数学符号和公式随意点缀，但所产生的衍生物主要是讲话的数字和比拟，而不是真正的数学推导；在一些情况下，它们简直是错误的。因此，只能认为，作为对系统的社会理论的一种尝试，齐普夫的工作是失败的。

另一方面，如同科尔曼（1964，3）所说，

形式化的经济学理论，以它一套精确地彼此联系的概念，发现数学极有用处。它们⋯⋯与代数和微积分有着部分同型性。

将社会科学研究的广阔领域数学化的尝试一般是有益的，这只是因为它

需要预先阐明经验现象的概念和命题。在一些情形中，这种阐明可以利用一些数学运算作为先验模型，以及寻求能有效地融入到模型中的概念和命题而完成。在这样的步骤中潜伏着危险。因为在众多可能的数学体系中，还只有少数被探讨过。它们发展的主要动力来自自然科学；因此对自然科学有用的运算可能比任何其他运算能更好地发展。对于社会科学来说，趋向是发展能被融入适于自然问题研究的数学体系中去的概念。在社会科学中，这样发展的许多概念类似于（可能并不如此不合逻辑）物理学概念就毫不奇怪。当运用所有的先验模型时需要极为谨慎，但效益可能极高。概率论对行为科学概念的作用称得上是一例。不过，社会科学概念和假设的阐明可以在没有任何特别的数学体系要求的条件下进行。如果对经验现象的理解变得足够清晰和准确，而适于讨论概念和关系的数学运算还未建立起来，那么对于发展新的形式运算，或对进一步探讨一些发展薄弱的运算，就需要某些条件。在所有社会科学中，对相关的数学日益增长的兴趣，可能是在数学新的发展中最令人鼓舞的例子，而它们都是被经验性问题的清晰阐述而诱发的。

数学表达的合理性，不能仅以从经验现象转化成概念理想化、再进而到数学抽象的有效性来评价。如果仅是这一标准，则大多数数学的处理就会被判为无效。虽然这点是对的：如果有时间和耐心，所有的数学系统都可以被掌握和发展；说掌握某些系统比掌握另外一些要容易得多，也是对的。掌握线性方程系统比非线性方程系统要容易得多，欧氏几何比非欧氏几何要容易学得多等等。因此方法论问题变得更复杂了。它等于规定数学式子，而这一

算式没有太多地歪曲正被讨论的现象，它本身简单，易于掌握。这个一般性问题可以用一简单例子来加以阐述。

假定我们用一简单的回归模型来讨论分布在空间的两个变量之间的关系。模型构造为：Y＝a＋bX＋e，这里 X 是一独立变量，y 是从属变量，a 和b 是根据资料估计的两个参数，e 为误差量。可以给予这一数学模型以若干理论上的解释（即它是过分认同的），让我们假定我们正检验形式 X→Y 的因果关系。我们假定的关系是线性的，如果我们能确定误差量 e 是一均值为零的正常分布变量，以及有每一 e 都独立于其他 e 的不变方差，那么就很容易掌握它。这是一个非常有力的假设，在地理数据中这种情况无疑是罕见的。但是问题提出来了：在我们摒弃这样简单的模型，求助于更复杂的技术以前，简单模型不能符合数据的程度有多严重？我们的回答是取决于应用模型的目的。例如，如果涉及到对参数显著度的检验，那么条件应被满足是绝对基本的。但是一般很难说所有的假设是否都被满足。例如，在误差量中的空间自动相关（spatial auto-corrclation）是很难检验的。如果只是稍微违反假设，那么对推导的影响可以小得足以忽略不计。通常难以判断模型简明的长处何时被不能满足全部假设所抵消。在这一情形中，我们需要能够区分两个变量 X 和 Y，要确信关系是因果关系，对于推导的目的，也要确信回归模型的假设在推理上是合理地完成了。这一满足所要求的假设、阐明基本原理及概念的一般性问题，是地理学家在他试图将所研究的现象数学化中面临的最严重问题。这一普遍的方法论问题的特定例子，已在别处讨论过了（哈维， 1968A）。

要建立绝对的规则或标准来支配数学运算的解译是困难的。在纯数学体系和经验现象之间修筑桥梁，一定包含着折衷。因此爱因斯坦曾（1923，27）写道：

至于涉及到现实的数学定律，它们是不确定的；如果它们是确定的，就不会涉及到现实。

不过，制订一些近似的规则来引导我们走向数学的崎岖道路还是可能的

——

采用数学运算的一个必要先决条件是：（a）提出经验上合理的概念，这些概念是精确和不含糊的；（b）准确表达将这些概念联系在一起的关系。
选来用以表示这些概念和关系的数学演算应是（a）尽可能简单和容易掌握；（b）尽可能准确地表示经验性概念；（c）尽可能准确地表示关系的结构和性质。
应用数学运算，应当考虑在数学模型形成中所作的假设。并且尽量保证这些假设在被分析的现实世界情况中比较过，或是描述这些情况的方法符合模型的要求。
如果概念和关系被修改以满足某种数学模型的要求，那么就应小心估计这一程序的经验上的正确性。为了形成现实世界结构的先验模型而利用数学模型可以说得益很大的，但其程序也要求在探求适宜的理论中要“永远警惕”这种先验模型的无意识运用。

这些规则非常概括，在大多数情况下需要折衷。在这一点上，地理学家和其他学科的每一位科学家一样，必须是一个细心的决策者，根据简明性、真实性等等各种限制条件，使自己的抉择尽量完善（丘奇曼，1961）。随着

理论分析变得更加精密复杂，概念和关系也就会趋于更加清晰，于是数学表达也变得更加容易和更有成果。当地理学理论及地理学家可以从中汲取概念和关系的各学科理论一起变得更复杂精密和明晰时，我们就可以期望更多地运用数学语言来系统地阐述和讨论问题。区分适于讨论地理问题的不同种类的数学语言，以及为把地理问题融合到这些语言中而建立准则，也会变得容易起来。今后数年内，一定会看到在抽象的数学语言和地理事实之间搭起众多的桥梁。下面两章通过讨论在特定的数学语言和我们致力理解的地理事实之间可以建立的联系，来详尽地思考这一过程。为这一目的而选定的两例是几何学和概率论。