多维标度

到目前为止，我们所考查的标度一直是含蓄地将度量概念假定在单一的一维的基本的关联集上，这种假定对若干度量问题是合理的。但是有些属性显然是多维的。我们已经详细考查了一个这样的属性——空间位置（第 14 章），还有其它一些属性——如颜色——也明显是多维的。另有一些属性我们或多或少觉得是多维的（智力、动机、效用等等）。大多数关于多维标度的创造来自心理学，在心理学中，几乎所有要度量的属性看来都有某种程度的多维性，或用较易懂的术语来说，这些属性是综合的。对于这种情况，托

格逊（1958.248）写道：

不是考虑用单维（即一维空间）上的点来表示促动因素，而是用多维空间中的点来表示促动因素。不是用单个数字（标度值）来表示一维点的位置，就象在相应的多维空间中存在若干独立的维一样，对每一个促动因素都赋予若干数字。每一个数字都与多维空间轴（维）之上的点的投影（标度值）对 应。

如果了解该空间的性质，那么只要能作出某些假设，就可以估计对象间

的距离，例如，设想我们正寻求度量象经济发展这样的一种综合属性，让我们假设这个综合属性是二维的（如单位资本的能耗和人口增长率）。如果这二个维各自独立，则我们可用正交轴来表示它们（图 18.4），并在这个二维空间中划分若干区域。然后就可用毕达哥拉斯定理计算两个区域 p 和 q 的综合属性距离 Dpq 。

这一简单实例说明了多维标度的原理。可将它扩展为 n 维，因此就有一个确定基本综合属性有多少维的问题。这个问题将在以后联系分类的数量方法考虑。同样，确定各维间的相互关系也是极其困难的。这里，也要记住罗素的名言（见前文，第 236 页）“度量以几何学为先决条件”，因为关于多维综合属性距离的度量整个地依赖确定 n 个维形成的 n 维空间几何特征的能力。那些轴不需要是正交的，我们没有必要利用欧几里得空间来估计关系（除非关系既简单且熟知）。同样，所有那些轴不必具有同一标度特性，这样， 我们会发现（不同强度的）顺序标度与区间标度和比率标度混杂在一起。

因此，多维标度的问题在于如何度量处于这一 n 维空间中对象间的距离。于是，托洛逊（1958，251）写道：

大量不同几何空间中的任一个，都可设法用作多维标度方法的基本空间模型。但是⋯⋯欧几里得模型是唯一被完全认真地考查过的一个。

但是自 1958 年以来，关于多维标度方法已做了大量工作，特别是在心理

学中（卡特尔，1966，克鲁斯卡尔，1964），也考查了其中一些方法对地理学问题的可应用性（当斯，1967）。可是显然，所涉涉（尤其在几何方面） 的技术问题与度量地理距离时所涉及的完全一样，也要应用同样的基本方法。变换、投影和综合距离度最（见前文，第 264—269 页），正如可应用于度量关于某一综合属性的距离一样，也可应用于度量地理距离。这样，对由阿德勒（1966，283—3；见前文，第 269—270 页）得出的从欧几里得几何特殊情况所作的距离度量加以推广，就是一个联系距离和投影的一般方程形式，它由托格逊（1958，293）给出：

1

r

djk = ∑(│a

 m

km − a jm

│) ^c  c



其中，该公式给出包括 m＝ 1，2⋯⋯个正交轴在 r 维空间中两个促动因素 j 和 k 之间的距离，C 呈现变量值。当 C＝2 时，就得到简单的欧几里得距离度量；当 c＝1 时，就得到由阿特尼夫（1950）设计的一种很特殊的距离度量，它被不同地称作“城市街区”或“曼哈顿格律”。C 可用更大的值， 并且不必是整数（克鲁斯卡尔，1964）。

这里对涉及多维标度方法的空间问题不作任何详细研究，对此有兴趣的可参考心理学文献（尤其是托格逊，1958；克鲁斯卡尔，1964）。但是，注意到发生在惜助各种促进因素来标度综合属性时的度量问题，与较为传统的地理学发展中类似的情况具有基本的相似之处，是很有趣的。如托布勒

（1966A）在构筑地图投影中，就利用了心理学的多维标度技术，而高尔

（1967）则利用了对地图投影技术的认识，来将复杂的数据集变换成更易处理的量纲。