【薛定谔方程】

薛定谔方程式为量子力学中粒子运动的基本方程式，但是这一理论假定粒子运动速度比光速小得多，因此它是非相对论性的。理论的基本点是一物理系统中的特定能量，可用一波动方程求出。此方式式的形式为

ih ∂ψ

∂t

= − h2 ∇ ²

2μ

ψ + u(r，t)ψ

此方程也常称为薛定谔波动方程，它描写粒子状态随时间的变化。它反映了微观粒子的运动规律。上式也常写为

[- h ∇ ² + u（r，t）]ψ（r，t） = ih ∂ ψ（r，t）式中[- h

v² + u（r，

2μ ∂t 2μ

t）]称为哈密顿算符，ψ（ r，t）是波函数。在经典力学中，动量和能

量的关系为

2

E = + u(r，t) 2μ

式中E为总能量，P为动量，u(r，t)为势能。自由粒子的波函数是平面波：

ψ(r，t) = A

− i ( Et−ρ·r) e h

它是薛定谔方程的解，我们可以由解来反推方程，即

∂ψ = −

∂t

i EAe h

• i ( Et −pr) h

= − i Eψ h

• i ( Et−P x−p y−p z)

∂²ψ

∂x²

∂2 h

A ∂x ²

x y z

APx²

• 1( Et −P x−p y −p z)

= − e h

h 2

x y z

三式相加，得

∂²ψ

∂y²

∂²ψ

∂Z²

= − Px 2 ψ

h2

P2

= − ^y ψ

h2

= − P 2 ψ

h2

∂²ψ + ∂²ψ + ∂²ψ



= ∇²ψ

∂x² ∂y² ∂z²

( Px² + P ² + P² )

= − h2

ψ = − P ψ

h2

利用自由粒子的能量和动量的关系式：

p2

E = （μ为粒子的质量）

2μ

∂ψ

由 ∂t

2

= − i Eψ h

P2

和 ∇ ψ = − h 2 ψ

则有 ih ∂ψ

∂t

= − h 2 ∇ ²ψ

2μ

∂ψ = − i Eψ改写为

∂t h

∇ ²ψ = − p

H 2

Eψ = ih ∂ ψ

∂t

改写为

(P· P)ψ = (−ih∇)·(−ih∇)ψ

式中∇是算符：

∇ = i ∂

∂x

• j ∂

∂y

+ k ∂ .

∂z

由上两式的形式可以看出，粒子的能量E和动量p分别与下列作用在波函

数上的算符相当：

E → ih ∂ ,

∂t

P → −ih∇

设粒子在力场中的势能为u(r, t )，在这种情况下，粒子的能量和动量的关系是

2

E = + u(r, t) 2μ

用上述与能量和动量相对应的算符代替 E 和 P，并在等式两边乘上粒子的

波函数ψ（r，t）便得到

ih ∂ψ

∂t

= − h2 ∇²

2μ

ψ + u( r, t)ψ

这就是著名的薛定谔方程式，在这个方程式问世以后不久，就被成功地用于解决许多原子和分子物理学的问题，并促使有关学科向前迈进了一大步。