表 72 距离衰减函数一般类型表

注： Tij 为区位i 和j 之间的交互作用量， dij 为 i 和 j 间的距离； a ， b 均为常数； e 为指数常数（ 2.7183 ）。

资料来源：引自参考文献 84 。

为了更符合实际，（2）式也可以改用指数形式配置： Tij=K PiPj e-blndij （4）

在实际应用中，城市间的交互作用量除了用城市人口规模来表示城市的质量指标外，也可以用城市的零售额数、就业机会数、工业总产值、固定资产和流动资金等其它一些替代指标。也可以根据城市之间年龄结构、消费水平、就业水平或生产率水平等的差异，给不同的城市以不同的权数。距离因素也可以用好几种方法量测，最常用的是两点之间的直线距离或实际距离。当考虑到路况条件时，用时间距离更准确。如果引入不同交通工具的成本， 也可以用经济距离来替代。有人甚至认为，人口迁移的距离观念可能不全是地理的概念，有时也可以用心理感应距离来量测。这样，空间交互作用的一般表达式可变为：

(W P )^α (W P ^β )

T = K

i i j j

（ 5 ）

i j b

i j

20 年代和 30 年代空间交互作用的重力模式广泛用于商业区研究。对得

克萨斯州 225 个城市的零售商业区的研究，导致赖利（W.J.Reilly）提出零售引力定律：

S  P  D  2

i =  i  j 

（ 6 ）

S j  Pj  Di 

赖利认为城市 i，j 之间任何一地 A 到两城市零售额的相对份额（Si/Sj） 与两个城市的规模大小和到两城市的距离远近有关。①

两城市间的吸引范围的划分，实际就是寻找与两城市的联系份额相等的

那个平衡点的位置。1930 年康弗斯（P.D.Converse）在赖利定律的基础上提出了寻找平衡点的所谓分界点公式或断裂点公式：①

B = d i j

（ 7 ）

式中

Pi，Pj—— 城 市 i 和 j 的 规 模 ； dij——两城间的距离； B——为断裂点到其中规模较小的城市的距离。

如果求出中心城市 i 和周围若干个邻近的同级城市 j 之间的断裂点，用平滑曲线把它们连起来，就得到了 i 城市的吸引范围。经过简单推导就可以知道，断裂点公式就是（2）式 k=1，b=2 和（6）式 Si/Sj=1 情况下的变形。显然（7）式中的平方根可以用经过实证的其它合适的根来替代，人口规模也可用其它城市质量指标。

用断裂点模式划分吸引范围简单易行。根据笔者多年的实践验证，用该公式得出的理论吸引范围和用大量指标归纳出的实际吸引范围基本上一致。它的缺点是假设过于简单：规模弹性系数为 1，距离弹性系数为-2，而实际情况要复杂得多。另外，它不能反映各地受不同城市影响的相对强度而表现腹地的过渡性特征。

在引力模型的基础上，利用计算机技术，可以解决在一个区域中划分多个中心城市吸引范围的问题。

取（5）式的简化形式：

Q ^α • Q ^β

I = K ^{i j}

（ 8 ）

i j b

i j

i＝1，2，3，⋯，m； j＝1，2，3，⋯，n。

Iij 表示 i 城市与 j 小区之间的相互作用量，Qi 是 i 城市的中心职能规模

① 参见参考文献 210。

① 参见参考文献 74。

指数， Q 是 j 小区的人口数或其它质量指标，d ij 为距离。α，β，b，Ｋ均为常数，这些常数可以通过抽样调查的方法取得几个城市和若干小区的联系量的实际数据，经过多元回归得到。在 Qi、Qj、d ij 已知的情况下，利用计算机可以求出区域内每一个 i 和每一个 j 的相互作用量，然后通过（9）式可以求得 j 与每一个城市相互联系的相对强度：

Fij =

I i j

m

∑Ii j i=1

（ 9 ）

Fij 也可以看作是 j 小区对子城市 i 的吸引范围的隶属度，根据择大的原则，就可以确定每一个小区 j 分别属于哪一个城市 i 的吸引范围。在此基础上，就得到各个城市的吸引范围。

空间交互作用的重力模式还有两种有意义的推广：

1. 潜能模式。四五十年代，斯图尔特（J.Q，Stewart）又把牛顿的势能公式引入地理学，牛顿的两个物体相互间的势能概念为：

E = G Mi M j

di j

（10）

按此，在地理学中两个地方（例如城市）之间的潜在势能定义为 Pi Pj ，

d i j

i 城市以外所有的地方 j 施加到 i 城市的潜能之和为：

E = Pi P1 + Pi P2 + Λ

• Pi Pn

d i1

= ∑

j=1

d i 2

Pi Pj

d i j

d i n

(i ≠ j) （11）

等式两边都除以 Pi，（11）式简化为：

Vi = ∑

j=1

Pi Pj

d i j

(i ≠ j) （12）

Vi 表示城市 i 与外部所有其它地方 j 之间可能的影响之和，即外界施加到城市 i 一个点上的总潜能。i 城市的总潜能也可以理解为 i 城市的可达性

（accessibility）。因为当 Pj 用人口规模代表时，d ij 越小，则到达 i 城的

可能性越大。距离增加的作用是降低了人口的可达性，增加了它的孤立性。

②

人口和交通网络在空间的分布都是不均匀的。用（12）式求得的每个城市的潜能值，反映了城市的一种区位条件，颇有实用价值。对每个城市的潜

② 参见参考文献 29。

能值用内插法还可以画出潜能等值线图，用来反映国家或区域一般可达性的空间变化。当人口用不同的权数或不同的指标替换后，也可以用来量测其它目的的潜能，如收入潜能，市场潜能等。距离系数也不必拘泥于 1，可以用 b 替代。

潜能模型还存在一个模糊点，即城市 i 本身究竟有没有潜能，如果有， 它的大小应该如何计算。这实际上就是（12）式再加上 i＝j 时的情况：

n

Vi = ∑

Pj + Pi

（13）

j=1

d i j d i j

认为理论上城市本身存在着潜能的人，对于 dii 的取值有几种不同的观

点，有人取 dii ＝1，也有人用 d i i ＝ S / π，即城市建成区的平均半径，也

有人用 i 城市与它最近城市 j 之间距离的一半，或者用城市 i 的吸引范围的平均半径。在这方面还没有统一的见解。dii 的取值不同最后所得的结果相差很大。

1. 中间机会摸式。1940 年美国社会学家斯托弗（S.A.Stouffer）把较近的或中间的区位引入到空间交互作用的距离因素中。他提出从源地 i 到目标地 j 的交流量（Mij）与目标地 j 的机会数（Nj）成正比，而与源地和目标地之间的中间机会数（Nij）成反比。他认为距离衰减法则中的距离本身并不起决定作用，运动流之所以随距离增加而明显衰减就是由于中间机会的增加。①他的概念可用下式表达：

N

Mi j + N • K

（14）

i j

中间机会模式在 60 年代曾被广泛用于交通流研究，例如芝加哥地区的交通研究曾采用以下模式：

T = O (e

n−1

− ∑

j=1

n−1

Dj − ∑ Dj

− e j=1 )

（15）

i j i

如图 88 所示，假设源地出行数规模 Oi 为 100，周围的 5 个目标地有不同的机会（Dj）和不同的距离（dij）。式中括号里有 2 个ΣDj，前一个（j=1

→n-1）是不包括目标地在内的中间目标地的机会数之和；后一个（j＝1→n） 是包括目标 j 和所有中间目标地的机会数之和。因此，据式（15）有：

Ti1=100［e-0.4-e-(0.9 +1.4)］=100（0.670-0.273）=39.7 Ti2=100［e-(0.9+0.1+0.4)-e-(0.4+0.9+0.1+0.4)］=

=100（e-1.4-e-1.8）=100（0.247-0.165）=8.2

① 参见参考文献 81。