（五）位序—规模律（Rank－Size Rule）

对于一个城市的规模和该城市在国家所有城市按人口规模排序中的位序的关系所存在的规律，就叫做位序-规模律。

这个规律最早是由奥尔巴赫（F.Auerbach）1913 年提出的。他在研究中发现 5 个欧洲国家和美国的城市人口资料符合关系：

PiRi＝K （1）

式中

Pi——是所有城市按人口规模从大到小排序后第 i 位城市的人口； Ri——是第 i 位城市的位序；

K——常数。①

1925 年罗特卡（A.J.Lotka）发现美国符合

PiRi0.93＝5 000 000 （2）

式中

Pi——城市 i 的人口规模； Ri——该城市的位序。

这一模式给出了一个比奥尔巴赫的约束性方程能更好地拟合 1920 年时

① 参见参考文献 13。

美国 100 个最大城市的式子。罗特卡的贡献在于对位序变量允许有一个指数。②

1936 年在辛格（H.W.Singer）的研究中才出现一般转换公式：③ lgRi＝lgk-qlgpi （3）

（3）式相当于

RiPiq＝K （4）

1949 年捷夫（G.K.Zipf）提出在经济发达的国家里，一体化的城市体系的城市规模分布可用简单的公式表达

P ＝ p1

（ 5 ）

r r

式中

Pr——第 r 位城市的人口； Pl——最大城市的人口； r——Pr 城市的位序。

这样，一个国家的第二位城市的人口是最大城市人口的一半，第三位城市是最大城市人口的 1/3，依此类推。①这种位序-规模分布的图解点表示在双对数坐标图上时，就成为一条直线。假如一个国家有很强的首位度，那么这个国家的城市规模分布曲线就明显偏离位序-规模法则，表现在强大的首位城市以下，缺失中间等级的城市，而小城市相对丰富，在曲线的后一段又接近位序-规模法则（图 50）。

捷夫的摸式并不具有普遍意义，但作为一种理想状态，已被很多人接受。这也就是前述四城市指数和十一城市指数以 1 作为理想

标准的依据（P / P  1 1 1≈1；2P / P  1 1

1 ≈1）。

1 1 2 ＋ 3 ＋ 4

1 1 2 ＋ 3 ＋ ＋

11

现在被广泛使用的公式实际是罗特卡模式的一般化：

P ＝ P1 或 P ＝P ·r −g

（6）

i 1

i q

式中

Pi——第 i 位城市的人口； P1——规模最大的城市人口； ri——第 i 位城市的位序； q——常数。

② 参见参考文献 52。

③ 参见参考文献 78。

① 参见参考文献 100。

对（6）式作对数变换：

lgPi＝lgP1—qlgri （7）

（6）和（7）对概括国家或区域的城市规模分布，具有相当的普遍性。也可以说，它是捷夫模式的推广。捷夫摸式就是 q＝1 时的特例。

在实际工作中，经常需要检验、比较或预测某个城市体系的城市规模分布。在这个时候，（6）式或（7）式是很有用处的，只需把这个城市体系中每个城市落到横坐标为位序、纵坐标为规模的双对数坐标图上，就可对这个城市体系的规模分布有一个初步的概念。而且通过散点图可以对城市的规模等级作客观的划分。然后对作对数变换后的城市规模（因变量）和对应的位序（自变量）进行回归，这实际上是 y＝a＋bx 形式的一元线性回归。回归所得的各项结果都很有用。回归的相关系数很大，说明该体系符合位序-规模分布，从最大城市以下，各规模级是基本连续的；相关系数不很大，则很可能是首位分布，或者在高层次有多个中心并存或其它特殊类型。a 值的大小在坐标图上是回归线的截距，反映了第一位城市的规模。b 值是回归线的斜率，|b|值接近于 1，说明规模分布接近于捷夫的理想状态；|b|值大于 1， 说明规模分布比较集中，大城市很突出，而中小级城市不够发育，首位度较高； |b|值小于 1，说明城市人口比较分散，高位次城市规模不很突出，中小城市比较发育。各城市在回归线上的位置，即城市规模的实际值与理论值之间的正负离差，对判断各城市的发展状况和发展前景也有一定参考价值。把城市职能的特点和规模分布结合起来，就可以较好地解释城市规模分布的现状特点。如果有多年的城市规模资料进行对比分析，效果会更好。|b|变大，说明城市规模分布集中的力量大于分散的力量；|b|变小，则说明分散的力量大于集中的力量。a 值的变动，反映了高位次城市，尤其是第一大城市的变化趋势。

下面介绍的是两个国外的研究案例。

第一个案例是梅登（C.H.Madden）用 1790～1950 年 10 年一次的城市资料进行分析，发现各年的实际城市规模分布曲线接近于直线，以同样斜率平行地随时间而推移，似乎无可争辩地说明，在 160 年的漫长时间里，美国的城市体系始终以位序-规模分布形式稳定地向前发展，并没有发生明显的类型转换（图 51）。①另一方面，城市之间的发展不平衡。图中跟踪了 4 个典型城市的地位变化。美国东部沿海的名城巴尔的摩，规模一直保持在前 10 位，19 世纪前半叶地位尤其显赫。南方港城萨凡纳规模在稳步增长，而相对位次在缓慢下降。纽约州的哈得孙，人口增长极为缓慢，位序迅速下降；而西海岸的洛杉矶恰成对照，从 19 世纪后期，横贯美国的南太平洋铁路通车后，它神话般地迅速崛起，已经进入最大城市的行列之中。

第二个案例是日本高阪宏行对新泻县的城市体系做的位序-

① 参见参考文献 55。

规模分析，①得出 1955、1965 和 1975 年的回归方程。然后用马尔柯夫链模型对各城市作人口预测，对预测得到的城市人口又作回归分析，结果如下（图52）：

1955 年 P＝237000 r-0.758 R2＝0.979

1965 年 P＝294000 r-0.812 R2＝0.978

1975 年 P＝355000 r-0.889 R2＝0.986

1985 年 P＝410000 r-0.930 R2＝0.987

1995 年 P＝447000 r-0.952 R2＝0.986

分析得到的结论是：

  1. 各年回归的相关指数都很高，回归高度显著、规模分布符合位序一规模分布类型。

  2. 高位次城市人口在不断增加，特别是最大城市在前 20 年中年均人

口的增长绝对量在上升，但因增长速度在下降，所以增长的绝对量在 1975 年以后估计呈下降趋势。

  1. 回归线的斜率 q 不断增加，人口分布日益集中将是总的趋势。转折点在 4～5 万人规模的城市，比这还小的城市人口有下降现象。前 20 年斜率变陡的速度在加快，后 20 年变陡的速度在放慢，而且斜率越来越接近于 1， 说明集中的力量虽然一直在起主要作用，但力度在趋于削弱，逐步达到集中与分散的力量趋于平衡的状态。