四、重视发散思维的训练开阔解题思路，发展

学生的空间观念

数学研究中有两种思维，一种是收敛思维，又称求同思维或集中思维。收敛思维是从若干已知条件中探求同一解题方法的思维过程，思维方向集中于同一方面，即向同一方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维条理化、逻辑化、严密化，是培养学生理解和掌握知识所必不可少的。另一种是发散思维，又称求异思维。发散思维是从同样的已知条件中探求不同的（包括奇异的）解题方法的思维过程，思维方向分散于不同方面，即向不同方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维活跃、灵活，具有创新意识。

在几何知识的教学中，我们根据学生的知识层次、实际水平，设计出一些数学题目，有目的、有计划地对学生进行发散思维的训练，对于开发学生的智力，活跃解题思路，发展学生的空间观念，仍然是十分必要的。下面略举两例，作些说明。

例如图 57 是由一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形和一个边长为 3 厘米的正方形组成，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

这道题的问题只有一个，即求出阴影部分的面积。学生通过“割”“补” “移”的方法，思维向多方向扩展，从而得到以下一些解法：

1. 阴影三角形加上阴影梯形。

3 5 5

× 2 ÷2 + （3－ 2 + 3）×3÷2＝9（平方厘米）

1. 从整个图形中减去空白三角形。5×3+3×3-（3+3）×5÷2＝9（平方厘米）

2. 添辅助线，从三角形中减去一个长方形。（见图 58）

6×5÷2-3×（5-3）＝9（平方厘米）

1. 阴影三角形旋转到空白三角形位置，则正方形面积就是阴影部分面积（见图

   59）。

3×3＝9（平方厘米）

例如某铁路线上，在起点和终点之间原有 7 个车站（包括起点站和终点

站），现在新增加了 3 个车站。铁路上两站之间往返的车票不一样。这样， 需要增加几种不同的车票？

这道题目可启发学生按照文字叙述的题意先构思出图形（一条直线上有若干个点，求点与点之间的线段数）。学生一般的解法是利用求几个连续数

的和，先算出原来7个车站时，有 （1 + 6）×6 ×2 = 42（种）车票，再算出

2

现在10个车站时，有 （1 + 9）×9 ×2＝90（种）车票，最后算出需要增加

2

需要增加 90-42＝48（种）车票。但我们在教学中，还应该启发学生寻求最佳解法，让学生凭直觉、猜想等思维形式和方法，充分发挥空间想象的能力， 以求得最优的解答方法。可以这样设想：

1. 原来有 7 个车站，如果增加 1 个车站，应该增加几种车票（如图60）？

7×2＝14（种）

1. 现在有 3 个车站了，如果再增加 1 个车站，又应该增加几种车票？

（想象图，仿图 60，略）

8×2=16（种）

1. 已经有 9 个车站了，如果再增加 1 个车站，又应该增加几种车票？

（想象图，仿图 60，略）

9×2＝18（种）

1. 这样，一共新增加了 3 个车站，增加了几种不同的车票呢？

   14+16+28＝48（种）

所以此题的解答，只要列出下面的算式就可以了：14+16+18＝48（种）， 或（7+8+9）×2＝48（种）。