图示法

图示法就是用线段图（或其它图形）把题目中的已知条件和问题表示出来，这样可以把抽象的数量关系具体化，往往可以从图中找到解题的突破口。图示法解题的面是很宽的，无论是整数和小数应用题，还是分数和百分数应用题，以及几何初步知识方面的应用题，都可以采用这种方法。前面在讲其它解题方法时，有些题目就已经使用了图示法。所以图示法既可以单独使用， 也可以与其它解题方法结合使用。

例 1 有大、小两个正方形，边长相差 3 厘米，面积相差 63 平方厘米。这两个正方形的面积各是多少？

这是一道几何初步知识方面的应用题，题目要求两个正方形的面积各是多少，这就需要求出其中一个正方形的边长。但正方形的边长、边长之差、面积之差等之间的关系抽象地分析是不容易找出它们之间的联系的。为此可用图示法帮助解决这个难点。这个题宜画几何图形（见图 67）

把小正方形放在大正方形内，再添加两条辅助线，于是边长之差与面积之差都反映出来了。又清楚地看出，面积之差是由三部分组成的：Ⅰ是边长为 3 厘米的正方形，Ⅱ和Ⅲ是两个面积相等的长方形，它们的长就是小正方形的边长，宽就是边长之差。通过图示法，把题目的已知条件与问题之间的联系都找出来了，按照图提供的解题思路就可以顺利解题了。

解：（63-3×3）÷2÷3＝9（厘米） 9×9＝81（平方厘米）

81+63＝144（平方厘米）

答：大正方形的面积是 144 平方厘米，小正方形的面积是 81 平方厘米。

例 2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第

2一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 ，

5

把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几？

这个题是第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛中的一个题。此题在理解题意上就有一定的困难，解题的线索在哪里更不容易找出来了，为此可以采用图示法。此题宜画示意图，用三个一样大的长方形代表三堆数目相等的棋子，用阴影部分代表黑棋子。

从图 68 中我们可以看出，把第二堆里的黑子与第一堆里的白子对换，第

1

一堆里都是黑子，它占全部棋子的3 。又因为第三堆里的黑子占全部黑子的

2 3

5 ，所以第一堆黑子占全部黑子的 5 。于是找到了这样的关系：全部黑子的

3 1

5 等于全部棋子的 3 。

以下应用转化法就可以求出全部黑子占全部棋子的几分之几，问题也就迎刃而解了。

解： 1  2 5

3 ÷1 − 5 = 9

5 4

1－ 9 ＝ 9

4

答：白子占全部棋子的 9 。

下面再看一道第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛中的试题。

例 3 甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲

1

班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加的人数的 3 ，乙班参加天文小组

1

的人数是甲班没有参加的人数的4 。问甲班没有参加的人数是乙班没有参加

的人数的几分之几？

这道题很抽象，如果不画图，简直不知从何处下手解答。画图时可以这样考虑：用两条一样长的线段表示两班人数，把甲班参加天文小组的与乙班没参加天文小组的分别画在两条线段的同一端，这样有助于反映出数量之间的关系，如图 69 示。

从图69 3 2

中很清楚地看出，甲班没参加人数的 4 与乙班没参加人数的 3 相

等。找到了这个重要的线索，应用转化法就可以解题了。

3 2

解：因为甲班没参加人数× 4 = 乙班没参加人数× 3

所 以 2 ÷ 3 = 8

3 4 9

8

答：甲班没参加人数是乙班没参加人数的 9 。

画图分析应用题是一种能力，这种能力需要在整个应用题教学过程中逐步培养。在低年级可以先培养学生看懂图，从中年级开始可逐步培养学生画图。画图的过程就是理解题意和分析数量关系的过程，从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的高低。所以在应用题的教学过程中，要注意培养学生画图分析应用题的能力。