真分数和

下面各式是求以某数作分母的全部真分数的和，有没有比较简便的方法？

1 + 2

3 3

1 2 3 4

+ + +

5 5 5 5

1 2 3 6

7 + 7 + 7 +Λ + 7

1 2 3 7

8 + + +Λ +

8 8 8

1 + 1 + 3 +Λ + 19

20 10 20 20

**解：**这种求全部真分数的和，从分母上看，有的是奇数，有的是偶数。以任意一个奇数作分母的所有真分数的和都等于“（分母-1）÷2”。如：

1 2

3 + 3 = (3 − 1) ÷ 2 = 1

1 2 4

+ +Λ + = (5 − 1) ÷ 2 = 2

5 5 5

1 2 3 6

7 + 7 + 7 +Λ + 7 = (7 − 1) ÷ 2 = 3

以任意一个偶数作分母的全部真分数的和，都是“分母÷2 - 1 ”。

2

如：

1 1 3 7

8 + + +Λ +

= 8 ÷ 2 − 1

2

= 4 − 1

2

= 31

2

1 + 1

20 10

+ 3 +Λ + 19

20 20

= 20 ÷ 2 − 1

2

= 10 − 1

2

= 9 1

2