幻方

例 1 将 1～9 九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是 15。

**解：**在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是： 把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、

下两数对调，左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。

如果把图三制好的幻方，旋转 90°、180°、270°都各成一个新的幻方。如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。

幻方的神奇有趣，还不仅仅表现在纵、横、斜和为 15，它具备的许多奇妙特性，人们尚未充分认识。

例 2 将 1～9 九个自然数，填在 3×3 正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。

**解：**具备题中特征的称为“反幻方”。

据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：

反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转， 后一个由内向外转。

这使我们想到古代的回文诗。

莺啼岸柳

月明弄夜睛春

这是一首联珠顶真的回文诗，自外向内再自内向外，如螺旋，可读作： 莺啼岸柳弄春晴，柳弄春睛夜月明。

明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼莺。看一下，它们多么相像！

例 3 认真观察下列的七阶幻方，指出它有哪些显著的特点。

**解：**这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是 175；如果圈出图内 5×5 格， 也是个幻方，它的纵、横、斜五个数和也是 175；圈出中心的三阶幻方，纵、横、斜三数和是 75。这个幻方的奇妙之处是：将七阶幻方，剥掉一层，就成了五阶幻方；再剥掉一层，就成了三阶幻方。它从中心向外辐射，内部的三阶幻方是个核心。因此，这种幻方，叫做同心幻方，也叫嵌套幻方。

例 4 下图是由 1～64 组成的八阶幻方，如果把其中的数字逐个间隔地取出来，按原顺序重新组成两个四阶方阵，这个新的数字方阵，有什么特点？

**解：**我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵， 再分析它们的特点。

在这两个图中，任意一横行的数字和是 130，任意一纵行的和以及斜对角四数之和都是 130！更为奇妙的是：把所有的对角线连起来，凡是不足四个数的，便与它相对平行的间隔大的一个或两个数相加，其和仍是 130。

例如：

⋯⋯

例 5 下图是个八阶幻方，算一算，它们的纵、横、对角线上的八个数和是多少？再算算八个数的积是多少？你发现了什么？

**解：**只要学会多位数四则运算了，八个数的加或乘，并不难，细心一些 就行了。

任 抽 几 行 算 算 看 ： 216＋161＋17＋52＋171＋90＋58＋75＝840

39＋34＋138＋243＋100＋29＋105＋152＝840

117＋232＋17＋50＋45＋108＋133＋138＝840

200＋153＋58＋13＋92＋57＋162＋105＝840

46＋60＋17＋87＋91＋225＋162＋152＝840

203＋153＋90＋184＋38＋108＋25＋39＝840

⋯⋯

纵、横、斜任意一行，八个数的和都是 840。

将上面的每八个数相乘，令人惊奇的是，它们的积也相等！都是205806823185600。

这个乘积的数字太大了！

有没有乘积小一些的幻方呢？

遗憾的是，至今为止，数学爱好者们对阶数低于 8 的“双料”幻方，还没发现过！尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作。但是这种等和、等积的幻方，八阶以下的根本没有，或虽然有却无人能创制，总之，现在还是个谜！

例 6 下面的图是由 1～81 连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成相等的九块。算算看，每一小块中的纵、横、斜对角的数字和有什么特点？**解：**从左至右，从上而下，我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行

加法运算，令人惊奇的是：这个九阶幻方中，所分成的九小块，每一小块也都自成幻方！

它们的常数分别是：

96，231，42；69，123，177；204，15，150。

这三组数的和都是 369，也是相等的，这个数又是整个大幻方的常数。这种一个大幻方中，又蕴含着许多各自独立的小幻方，被称作“母子幻

方”。最早的“母子幻方”创制者是我国宋代的数学家杨辉，当时他只画出了图形，没加任何文字说明，人们大都像猜谜一样看不懂。后人经过研究， 终于明白了他的意图，还弄懂了制作的方法。

例 7 上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：“万物非主，唯其真宰，穆罕默德为其使者。”玉挂的反面却整齐地刻着 16 个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方（如图）。请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的特点？

**解：**这个幻方具有如下特点：

①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。

②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如： 11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝34

14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8

＝13＋16＋4＋1

＝11＋7＋6＋10

③幻方中，任何一个 2×2 正方形中四数之和也相等。如8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7

＝14＋1＋7＋12

＝34⋯⋯

④幻方中，任何一个 3×3 正方形，它的四个角数字之也是 34！如： 8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16

＝34⋯⋯