简单应用和比例理论

所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把△ACD 移置△ACB 处，又把Ⅰ、Ⅱ 各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相补原理有：

Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，⋯⋯（指面积相等） 由此得

PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，⋯⋯

而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，⋯⋯ 因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，⋯⋯

就是相似勾股形 ARO 和 OQC、ABC 和 OQC 的相应勾股成比例。并且可以导出

其他相应部分的比例关系。

以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。