垛积术——高阶等差级数问题

所谓垛积术，就是高阶等差级数求和问题。这个问题和内插法一样，在我国古代是自成系统的。

公元前一世纪《九垛积。章算术》“均输章”曾经提出等差积数的问题， 公元五世纪《张丘建算经》给出等差级数求和的公式：

n 1

∑ r = n(n + 1) 。

1

高阶等差级数的研究开始于北宋沈括，元代朱世杰把它推到十分完备的境界。

沈括在《梦溪笔谈》卷十八“隙积术”中提到，上底宽是 a 个物体、长是 b 个物体、下底宽是 c 个物体、长是 d 个物体、高是 n 层的垛积（物体个数）s，比上底宽是 a、长是 b、下底宽是 c、长是 d，高是 n 的长方棱台

n

的体积多 6 （c－a），即

s = ab + (a + 1)(b + 1) + + cd = n [(2b + d)a + (2d + b)c] + n (c − a)。

6 6

沈括怎样得到这个公式，没有说明，大概是先用具体数字进行试验，然后用归纳的方法得到的。

南宋理宗景定二年（公元 1261 年），杨辉在《详解九章算法》中继续对这个问题进行研究，他得到三个高阶等差级数公式：

s = 1² + 2² + 3 + + n² = n (n + 1)(n

• 1)，

(1)

3 2

s = a ² + (a + 1)² + (a + 2)² + + d ²

= n (a ² + d ² + ad + d − a)，

3 2

(2)

s = 1 + 3 + 6 + 10 + +

= 1 n(n + 1)(n + 2)。6

n(n + 1) 2

(3)

（1）式是四隅垛，（2）式是方垛，（3）式是三角垛。他把这三式分别和《九章算术》的方锥、方亭、鳖臑相比类，可能是仿照《九章算术》的棋验法推得的。

元成宗大德七年（公元 1303 年），朱世杰在《四元玉鉴》中，利用了当时丰富的数学知识，对这个问题作了系统而详细的研究，并得到普遍的解法。

朱世杰研究了以等差级数∑r的和、二阶等差级数∑ r ²的和分别是

1 1

两个新级数的一般项的两种情形。在第一种情形中，

r (r + 1) =

₁ 2!

n(n + 1)( n + 2)

3! ,

他连续以新级数的和作为一般项，就得到这一类高阶等差级数的一般公式：

n 1

∑ p! r(r + 1)(r + 2) (r + p−)

1

= (p + 1)!

n( n+)(n+) (n + p)

(p = 1，2，3，

6)。

(1)

在第二种情形中，从沈括或杨辉的公式知道，

∑ r ² =

1

1 n( n + 1)(2n + 1)，

3!

朱世杰继续以新级数的和作为一般项，

ⁿ 1 2 ⁿ 1 1 ⁿ 1

∑ 3! r( r + 1)(2r + 1) = 3 ∑ 2! r(r + 1) ·r + 3 ∑ 2! r(r + 1)，

1 1 1

n 1

从而引出形如∑ 2! r（r＋1）·r的高阶等差级数，他得到这类级数的一

般形式的求和公式：

ⁿ 1 1

∑ p! r(r + 1)(r + 2) (r + p−)·r = (p + 2)! n(n + 1)( n + 2) ( n + p) [(p + 1)n + 1]

(p = 1，2，3，4，5)。

(2)

在第一组公式中，从朱世杰所用的“落一形垛”、“更落一形垛”的名称可以知道，他已经认识到：前式的 r 项的和是后式的第 r 项，就是前式中到第 r 层为止的垛积降落一层是后式垛积的第 r 层。另外，从朱世杰在《四元玉鉴》中所用图”（如右图）出，第一组的级数恰好是从左边开始的第 p

＋1 条斜线的数字的延伸，第 p 条斜线上最初 n 个数字的和恰好 等于第 p

＋1 条斜线上的第 n 个数。因此我们认为，朱世杰的第一组级数很可能就是直接从这个图得到的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 6 15 20 15 61

他虽然只算到 p＝6 的情形，但是很明显，p 是任何正整数的时候都成立。至于第二组级数怎样得出，朱世杰同样没有说明，很可能是通过推广的

“古法七乘方图”求得的。

朱世杰在高阶等差级数方面的工作，不论在计算技术方面，还是在理论概括方面，水平都是很高的。