割圆连比例和л的无穷级数表达式

清代初年，蒙古族科学家明安图（？—1765）著《割圆密率捷法》一书。在这部数学专著中，明安图完整地证明了正弦和反正弦的幂级数展开式和л 的无穷级数表示式等九个公式，为用解析方法研究三角函数和圆周率开辟了新的途径。

在明安图所处的时代，我国科学技术已逐渐形成了落后的局面。为了提高数学水平，当时一些比较优秀的数学家，在经过分析鉴别和实际运用的基础上，吸收了陆续传入的一些西方数学知识，接受了如三角函数、对数等西方数学的重要成就。在明安图证明的九个公式中有正弦函数展开式和л的无穷级数表达式：

sinx = x −

1 x³ + 1 x⁵ − ，

31 5!

π 1² 1² · 3²

3 = 1+ 4·3! + 4² ·5 + 。

后一个公式是牛顿于 1676 年发现的，前一个公式是格雷果里（1638—1675）

于 1667 年发现的。但是这些公式在清初传入中国的时候，都没有介绍公式的证明方法。这种情况给当时的数学工作者掌握和运用这些知识带来了一定的困难。显然，不能只满足于盲目引用片断的公式，必须了解这些公式的确实可靠性以及它们能够成立的道理，这才是正确的态度。

明安图花费半生心血刻苦钻研，不仅完满解决了这个问题，而且还推导出展开三角函数和反三角函数的新公式，从而有所前进。从《割圆密率捷法》还可以看出，明安图的证明方法是他所创造的“割圆连比例”方法，它的具体过程大致可以归纳为下列几个步骤：

第二，当 m＝2 时，明安图继承和发展了中国古代传统数学的割圆术，根据相似三角形对应边成比例，逐步推算（如图）， 把 AD＝L 表示为 L1/2 的一个幂级数。

第三，当 m＝5 时，明安图吸取和推广了外国有关的数学知识，把 L 表示为 L1/5 的一个多项式。

第四，利用第二、三两步分别把 L 表达为 L1/2、L1/5 的公式，然后相互

代入，逐步推导，顺次求出把 L 表达为 L1/10、L1/100、L1/1000、⋯⋯关系式的系数。显然，如果把弧分成 10000 等分，这时的弦和弧的长度已经相当接

近了。

系式。

明安图割圆连比例的中心思想是根据相似三角形对应边成比例的道理，得出一连串比例关系式，求出适当的折线长度，然后用折线逼近圆弧， 从折线和弦的关系导出弧和弦的关系。

明安图采用这种中西结合、融会贯通、用割圆连比例把它们统一起来的方法，成功地证明了前面提到的公式，从而把三角函数和圆周率的研究提高到一个新的水平，这是明安图的重大贡献。不仅这样，明安图对于直曲关系转化的认识也有了新的提高。在古代割圆术中，对于直曲关系转化的认识表现在用圆内接正多边形逼近圆周。而明安图指出：弓形中的弧是曲线，弦是直线。曲线和直线总有区别，不能等同。但是弧和弦的关系不是无法解决的。当我们把某段弧长等分得十分细，以至于无穷，就可以把弧和弦统一起来， 而得出彼此相求的关系。这样，他的认识就超出了圆内接正多边形的范围， 也超出了仅仅是求圆周长的范围，开始讨论任意长度弦和它所对弧之间的相互关系。这种对弦弧、直曲关系的辩证认识，为明安图解决展开三角函数问题提供了正确的思维途径。