祖冲之圆周率

在刘徽之后，南北朝时期杰出数学家祖冲之，把圆周率推算到更加精确的程度，取得了极其光辉的成就。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了圆周率的不足近似值是 3.1415926，过剩近似值是 3.1415927，真值在这两

个近似值之间，就是

3.1415926＜л＜3.1415927。

同时，祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：

约率л＝ 22 ≈3.14，密率л＝ 355 ≈3.1415929。

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祖冲之圆周率的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，准确到小数点后七位，这在当时世界上非常先进，直到一千年以后，十五世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西（？—1436）和十六世纪法国数学家韦达（1540— 1603）才打破了祖冲之的记录。

此外，在十进小数概念未充分发展以前，中国古代数学家和天文学家往

往用分数表示常量的近似值。祖冲之提出的约率л＝ 22 ，前人已经用到

过, 密率л＝ 355 ，是他所发现的。密率是分子分母都在1000以内的分数

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形式的圆周率最佳近似值。用这两个近似值计算，可以满足一定精度的要求，并且非常简便。祖冲之提出的密率也是一千年后才由德国人奥托（约 1550

—1605）和荷兰人安托尼兹（1527—1607）重新得到。但是，在西方数学史

上，л＝ 355 经常称为“安托尼兹率”。

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我们知道，圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。祖冲之算得小数点后七位准确的圆周率，正是标志着我国古代高度发展的数学水平，引起了人们的重视。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以后，一些人

就建议把л＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。

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祖冲之关于圆周率的研究工作和其他重大贡献记载在《缀术》一书中，可惜这部内容丰富的数学专著后来失传了。因此，祖冲之推算圆周率的方法现在已经无法查考。但是，每一项重大科学成果都必定建立在前人成就的基础上。现在，一般都认为，祖冲之是继承刘徽割圆术的方法用来求出他的不足和过剩两个近似值的。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到3.1415926 和 3.1415927，必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积。这样求出的圆周率才能准确到小数点后七位。我国古代是用算筹计算的，因此，对九位数做上百次加、减、乘、除和开方运算，还要适当选择有效数字，保证准确的误差范围，这是一项非常艰巨复杂的计算工作，显然只有掌握纯熟的理论和技巧，具备踏踏实实、

一丝不苟的研究精神，才能取得这样杰出的成就。