开平、立方

从勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再开平方就得弦。因而勾股定

理的应用自然导致开平方的问题。

事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。

试以求 55225 的平方根为例。这相当于已知正方形 ABCD 的面积是55225，求边 AB 的长，见下图。按我国记数用十进位位值制。因 AB 显然是一个百位数，所以求 AB 的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是 2，因而在 AB 上截取 AE

＝200，并且作正方形 AEFG，它的边 EF 的两倍称为“定法”。把 AEFG 从 ABCD 中除去，所余曲尺形 EBCDGF 的面积是 55225

－2002＝15225。其次估计十位数字是 3，在EB 上截取 EH＝30，并且补成正方形 AHIJ。从AEFG 所增加的曲尺形EHIJGF 可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面积依次是 30×EF， 30×FG，302，其中 EF＝FG＝200，所以从 ABCD中除去 AHIJ，所余曲尺形 HBCDJI 的面积是

15225－（2×30×200＋302）＝

2325。

现在再估计个位数字是 5，在 HB 上截取 HK＝5，并补作正方形 AKLM，从 ABCD 中除去 AKLM 后所余曲尺形面积和前同法应该是

2325－（2×5×230＋522）＝0。

由此知 K 和 B 重合而 55225 的平方根恰好是 235。

求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。

我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到十一世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂， 就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。