刘徽原理

《九章算术》给出了阳马（直角四棱锥）的体积公式

V = 1 abk

r 3

（1）

和鳖臑（四面都是勾股形的四面体）的体积公式

V = 1 abh， （2）

b 6

其中 a、b、h 分别是长、宽、高。在刘徽之前，对 a＝ b＝h 的特殊情形， 由于一个正方体可以分解成为三个全等的阳马，或六个三三全等两两对称的鳖臑，人们容易用棋验法加以证明。但是，当 a≠b≠h 时，“鳖臑殊形”， “阳马异体”，用棋验法“则难为之矣”。为了证明（1）、（2）式，必须另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理：把一个堑堵（把一个长方体沿相对两棱斜剖，便得两堑堵）分解为一个阳马和一个鳖臑，“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”即在一个堑堵中，恒有

Vy∶Vb＝2∶1。（3）

吴文俊氏把它称作“刘徽原理”（见本书第 92 页）。显然，只要证明了刘

徽原理，由于堑堵体积是 1 abh，那么（1）、（2）式的正确性是不言而

2

喻的。刘徽创造了如下的方法证明（3）式：

如图，用三个互相垂直的平面分别平分堑堵的长、宽、高，那么：其中的阳马被分割成一个小长方体Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ，两个小阳马Ⅳ、Ⅴ；鳖臑被分割成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′，两个小鳖臑Ⅳ′、

Ⅴ′。显然，小堑堵Ⅱ和Ⅱ′、Ⅲ和Ⅲ′分别可以拼成和Ⅰ全等的小长方体； 小阳马Ⅳ和小鳖臑Ⅳ′、小阳马Ⅴ和小鳖臑Ⅴ′分别是两个小堑堵，又可以拼成第四个全等的小长方体。在小长方体Ⅰ、Ⅱ－Ⅲ′、Ⅲ－Ⅲ′中，属于阳马的和属于鳖臑的体积的比是 2∶1，所谓“别种而方者率居三”，即在

3

堑堵的 4 中证明了（3）式。而在第四个小长方体Ⅳ－Ⅳ′－Ⅴ－Ⅴ′中

1

（3）式是否成立还不知道，即在堑堵的 4 中（

3）式还有待于证明。然而

其中两小堑堵的结构和原堑堵完全相似，所谓“通其体而方者率居一”。显然，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，又可以证明在

3 1

其中 4 中（3）式成立，在其中 4 中仍不知道。换句话说，证明了（3）式

3 1 3 1 7

在原堑堵中 4 ＋ 4 × 4 中成立，而在 4 × 1 中还不知道。这个过程可以无

限继续下去，第n次分割只剩原堑堵的 1

4n

中（3）式没有被证明，显然

lim 1 ＝0，所谓“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形，由是言

n→∞ 4n

之，安取余哉？”就是在整个堑堵中证明了（3）式。

刘徽之前，人们所使用的棋验法，无需知道阳马、鳖臑的体积公式，并且无法证明各种多面体的一般体积公式。刘徽却在首先解决了长方体、堑堵、阳马、鳖臑的体积公式之后，把其他多面体分割成有限多个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求它们的体积的和来解决这些多面体的体积问题。刘徽说： “不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。” 这种把多面体体积理论建立在阳马、鳖臑基础上的思想，也就是建立在无穷小分割基础上的思想，和现代数学的体积理论惊人地一致。刘徽在公元三世纪就开始考虑十九世纪困扰着高斯、希耳伯特等数学大师的课题：四面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的。刘徽的贡献受到 1985 年法国布尔巴基学派举行的希耳伯特第三问题学术讨论会的颂扬，是当之无愧的。