解二次方程

在开平方的过程中，曾经出现像第 84 页下图中黑线部分那样的图形， 其中 2×EF 称定法。开平方在求得 AE 以后，其次几步在于从曲尺形 EBCDGF 的已知面积求得 EB。现在把□DF 移到□CH，那么依出入相补原理，□BH 面积已知，此外□BH 的两边 EH 和 EB 的差就是定法 2×EF，也有已知数值。因

而求 EB 的问题可以转化为下面的问题：

  1. 已知一长方形（□BH）的面积、长阔差，求长阔。

反过来，这一问题的解法，可依开平方中第二步以下的方法求得，称为“开带从平方”。这在《九章》以来是用下面的语句来表达的：

  1. “以‘长方形面积’为实，‘长阔差’为从法，开方除之，得‘阔’”。以上“从法”一名，当来自开平方过程

解二次方程 - 图1中的“定法”，“开方”一词也说明了它的来历。

下面的例取自《九章》，见右图。图中ABCD 是一方城，出北门北行若干步到 G 有木，出南门南行若干步到 F 再西行若干步到H，恰可望见木 G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依出入相补原理得

□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。

□EJ 的长阔差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”为实， 以“南步＋北步”为从法，开平方除之，得 EI，也就是方城边长。

不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理， 还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：

  1. 已知勾股积、勾股差，求勾、股。

解二次方程 - 图2为此考赵爽残图如附图。图中大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得

勾股和 2＝4×勾股积＋勾股差 2。

由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。

宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以 X（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程

x2+ax=b，

其中 a 相当于从法，b 相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b 都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达式的可能性。①

在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约 780—约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元十六世纪，意大利数学

① 参阅钱宝琮：《中国数学史话》，中国青年出版社 1957 年版，第 62 页。

家关于三次方程的解法，也完全是几何的。