刘徽的割圆术

汉代《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“术曰：半周半径相乘得

积步。”设圆周是L，半径是r，那么圆面积S＝ 1 Lr。刘徽之前人们以圆

2

内接正 6 边形的周长代替圆局长 L，以圆内接正 12 边形面积代替圆面积 S， 把正 12 边形拼补成一个以正 6 边形周长的一半作为长、圆半径 r 作为宽的长方形来推证上述公式的。刘徽说这“合径率一而外周率三也”，极不严格。

为了真正证明圆面积公式，他创造了著名的割圆术。

刘徽从圆内接正 6 边形开始割圆，依次得到圆内接正 6×2、6×22、⋯⋯边形。显然，圆内接正6×2n 边形的面积 Sn＜S。然而，随着分割越来越

细，S－Sn 越来越小，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体

而无所失矣。”就是说limS

n→∞

＝S。另一方面，圆内接正6×2ⁿ 边形的每

边和圆周之间有一段距离，称作“余径”，把每边长乘余径，总和是 2（Sn

_＋1－Sn），加到 Sn 上，那么 Sn＋2（Sn＋1－Sn）＞S。然而当 n 无限大时，6

×2n 边形和圆周合体，表径等于零，所谓“表无余径，

则幂不外出矣。”就是说lim ［Sn ＋2（Sn＋1－Sn ）］＝S。这就证明了

它的上界序列和下界序列的极限都是圆面积。最后，刘徽把和圆合体的正多边形分割成无穷多个以圆心作为顶点、以每边的长作为底的小等腰三角形， 由于以圆的半径乘每边的长是每个小三角形面积的二倍，求这些小三角形面积的总和，即圆半径乘圆周长，就是圆面积的二倍：Lr＝2S，所以 S＝

1 Lr。仍所谓“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径

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而为圆幂，”完成了证明。

显然，这里含有明显的极限过程和无穷小分割并求它的总和的思想，和面积元素法十分接近。

刘徽批评了以往学者沿袭周三径一的错误，认为上述公式中的“周径， 谓至然之数，非周三径一之率也”。为了正确使用这一公式，必须求出这个“至然之数”，即周径相比之率，就是现在所谓圆周率。刘徽从直径 2 尺的圆的内接正 6 边形开始割圆，依次求出正 6×2、6×22、6×23、6×24 边形的边长和 6×25 边形的面积，取圆内接正 6×25 边形面积 S5 的整数部

分314平方寸作为圆面积S的近似值，代入圆面积公式S＝ 1 Lr，反求出圆

2

周长近似值是 628 分，和直径 2 尺相约，得周率 157，径率 50，相当于π＝

3.14。刘徽用这组值把《九章算术》的另外两个圆面积公式S＝ 3 d ²，S

4

1

＝ 12

ι ²修正成S＝ 157 d² ，S＝

200

25

314

ι ²。刘徽认为这一周率还是微少，

又求出314 4

25

平方寸作为圆面积近似值，代入S＝ 1 Lr，求出周长是628

2

5 分，得出周率3927，径率1250，相当于π＝3.1416。

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