李善兰的尖锥求积术

刘徽、祖冲之父子之后一千多年间，我国的无穷小分割思想没有什么新的进展。直到清代中叶以后，明安图在研究三角函数幂级数展开式时提出“析之至于无穷”的思想，项名达、戴煦（1805－1860）的椭圆求周的计算方法符合椭圆积分法的原则，并重新涉及这个领域。而最值得称道的是李善兰

（1811－1882）于清道光二十五年（公元 1845 年）发表的《方圆阐幽》、

《弧矢启秘》、《对数探源》这三种关于三角函数、对数函数和指数函数的幂级数展开式的研究成果。其中的尖锥求积术提出了几个相当于定积分公式的命题，如“当知诸尖锥有积叠之理”，表示当 0≤x≤h 时，xn 的平面积叠成一尖锥体，而由平面积 axn 积叠起来的尖锥体高 h，底面积 ah2，它的

体积是

ah²×h

，相当于∫

ax ⁿdx =

ahn+ 1

。又指出，同高的许多尖锥可以

n + 1 0 n + 1

合并成为一个尖锥，相当于定积分

h h

∫ a xdx + ∫ + + ∫ a xⁿdx = ∫ (a x + a x² +



a xⁿ )dx。

a xdx

0 0 0

0 1 2 n

李善兰用尖锥求积术解决了许多问题。以圆面积的计算为例。如右图，考虑直径是 2 的圆和它的外切正方形的四分之一，分别是 OAQC 和 OABC。方内圆外的部分是一平面尖锥 ABCQ，它由 ABD、ADE、AEF、AFG、⋯⋯等无限个平面尖锥组成。诸尖锥的底

1 1 1 1 1 3 1

BD = 2 BC = 2 ，DE = 4 DC = 2·4 ，EF = 6 EC = 2·4·6 ，FG = 8 FC =

3·5 ， 在AB上任取一点P，作PR‖BC，交圆于Q 。设x = AP 2·4·6·8

那么PO = PR − QR = 1 −

= 1 x² +

2

1

2·4

x ² +

1

2·4

x⁴ +

3

2·4·6

• x ⁶

⋯。令 x＝1，上列级数的各项就是诸尖锥的底 BD、DE、EF、⋯⋯。依据尖锥求积术，方内圆外的部分的面积是

1 1

SABCD = 2 · 3 +

从而圆面积是

1

2·4

• 1 +

5

1 1

2·4·6 · 7 + ，

π = 4 − 4( 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + )。

2 3 2·4 5 2·4·6 7

李善兰的尖锥求积术是在他接触西方微积分学思想之前发明的，表明中国数学家完全有能力独立地打开微积分学的大门。由于种种原因，中国没有经历这个过程，而尖锥求积术为李善兰不久以后和伟烈亚力合译西方数学著作，把微积分学引入我国，作了准备。