祖暅原理和球体积

唐季淳风等注释《九章算术》时所引祖暅开立圆术提出了一条重要原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”就是说：同高的两立体如果等高处的截面积恒相等，那么它们的体积一定相等。现在称它作“祖暅原理”，它在西方称卡瓦列里原理（公元 1635 年）。

更一般地，如果同高的两立体等高处的截面积恒成定比，那么它们的体积必成定比。这一原理是中国古代解决体积问题的另一重要理论，实际上是另一种形式的无穷小分割。

有证据表明，早在《九章算术》时代，人们就通过比较圆锥和方锥、圆台和方台的底面积，由后者推得前者的体积公式，水平大体和欧几里得《几何原本》的有关论述相仿佛。刘徽的认识却进了一大步。他认识到，不仅要比较底面积，而且要比较任意等高处的截面积。这在羡除术注中表述得特别清楚。他为了解决羡除（一种楔形体）的体积，需要从长方锥分割出一种特殊的鳖臑（仍是四面体）并求它的体积，于是刘徽提出了“上连无成不方， 故方锥与阳马同实”的原理。“成”就是“层”，这是说，同底等高的方锥和阳马每一层都是相等的方形，所以它们的体积相等。联系到刘徽割圆时会达到不可割的境地的思想，我们认为刘徽是把立体看成由不可再分的薄片叠合而成的，后来卡瓦列里的不可分量和这类似。正是基于这一认识，刘徽明确提出了圆锥和外切方锥、圆台和外切方台的体积的比是π∶4，并指出了

《 九 章 算 术 》 所 蕴 涵 的 球 体 积 公 式 139 的错误，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π∶4。他用球的两个外切圆柱体正交，它们的公共部分称做“牟合方盖”，指出球和外切牟合方盖的体积的比才是π∶4。显然，只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“敢不阙疑，以俟能言者”，表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。

二百年后的祖暅深入研究了球的外切正方体中用两个正交圆柱切割出牟合方盖后的剩余部分。他考虑这剩余部分的八分之一，在正方体内而在牟合方盖外的部分被切割成了三块，叫作外三棋。他利用勾股定理等知识，求出外三棋的每一层的截面积的和都等于一个倒置的长、宽、高都等于球半径的阳马的等高处

的截面积。由祖暅原理，外三棋的体积等于这倒置阳马的体

积，就是 1 r ³（r是球半径），因而牟合方盖的八分之一的体积是 2 r ²，整

3 3

个牟合方盖的体积是 2 d ³（d是球的直径），于是球体积

3

V = π × 2 d ³ = π d³，

4 3 6

如果取π＝3，就是 1 d ³，圆满完成了刘徽的未竟的事业。值得注意的是，

2

外三棋的每一块截面积的变化都不是线性的，然而它们同一截面的截面积的和的变化却是线性的。祖暅在应用后来以他的名字命名的原理上比刘徽更加灵活，认识也更加深刻。