体积理论和刘徽原理

如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：

1

）三角形面积＝ 2 ×高×底，

由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得

1

）四面体体积＝ 3 ×高×底面面积，

由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而是极其困难的问题。欧洲直到十九世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元 1900 年德国数学家希耳伯特（1862—1943）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为二十三个问题之一。这一问题立即为德恩（1878—1952）所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到 1965 年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。

在这种情势下，看看中国古代对这一问题的处理方式是不无有启发性的。

《九章》以至《刘注》解决体积问题的出发点是把一般的多面体分解为一些基本的立体。先把一长方体斜剖为二，如下图（1），得两堑堵（堑堵是两底面是直角三角形的正柱体）。再把堑堵斜剖为二，如上图（2）；一个是阳马（阳马是直角四棱锥体），如上图（3）；一个是鳖臑（鳖臑是四面都是勾股形的四面体），如上图（4）。其中鳖臑的特征是 AB 和平面 BFG 垂直，FG 和平面 ABF 垂直。由于任一多面体可以分割为四面体，而任一四面

体可以分割为六个鳖臑，如左图，所以问题归结为求鳖臑（以及阳马）的体积。依刘徽原话，就是所谓阳马、鳖臑，“功实之主也。”

其次的问题是怎样求得阳马和鳖臑的体积。如果长方体成为立方体，那么分解所得的阳马的体积是鳖臑的两倍。刘徽作了长篇的分析，得出结论是：这个论断普遍成立。用刘的原话是：“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”我们把它称作：

刘徽原理 斜解一长方体，所得阳马和鳖臑的体积的比恒是二比一。从这一原理容易得到鳖臑和阳马的体积公式。由此又容易得到（2）式，

因而整个多面体的体积理论可奠基于刘徽以及出入相补这两个原理之上。刘徽对他的原理有详细的分析说明，实际上就是这一原理的证明①。按

希耳伯特和他的后继者的研究指出，体积理论和面积理论不同，出入相补原理之外，必须辅以连续一类公理。也有人（例如沙顿诺斯基，1903 年）提出排除连续公理，直接应用（2）式作为建立体积理论的基础。但是这样就要先证明（2）式中高和底面积的乘积凡四都彼此相等，这既不明显也不简单， 似不如刘徽原理和出入相补原理的显豁自然。

总之，多面体的体积理论到现在还余蕴未尽，估计中国古代几何中的思想和方法或许对进一步的探讨还不无帮助。