项名达“椭圆求周术”

清代嘉庆、道光年间的数学家项名达（1789—1850），在他所著的《象数一原》一书中，概括和推广了三角函数展开式方面的研究成果。同时，他还得到了椭圆周长公式：

a ² − b²

P = 2πa(1− 1

22

e² −

1² ·3

2² ·4²

e⁴ − )，

式中e²＝ ，a、b是椭圆的半长轴和半短轴，e是离心率，可以表

a 2

示椭圆的扁圆程度。他又得到圆周率倒数公式：

1 1 1 1² ·3

π = 2 (1 − 22 − 22 ·42 − )。

项名达求椭圆周长的方法，因为他病重， 未能完整地写下来。后来，项名达的朋友按照他的思路为“椭圆求周术”补作了《图解》。根据项名达提出的一些原则和《图解》，我们可以看到，他推导椭圆周长公式采用了折线无限增多以逼近椭圆圆周的方法。项名达指出： 在等分椭圆的大圆圆周的时候，虽然相应椭圆

圆周上的线段大小不等，有所谓“加减差”，但是，对于圆弧析分越多，差

数就越小，椭弦和椭弧逐渐相合。当析分到无限多的时候，椭弦和就是椭圆弧长。由此可见，我国古代传统的割圆术，在这里又超越了计算圆弧的范围， 发展到应用于椭圆的情形，从而使对直曲关系转化的认识进一步提高到一个新水平。项名达关于椭圆求周的计算程序完全符合于椭圆积分的法则。

从明安图和项名达的成就，我们也可以看到，这一时期的中国数学家已经具备了某些微积分思想的萌芽。虽然由于各种原因，我国未能按照具有自己特色的道路进展到这一阶段，但是，他们的杰出贡献为顺利接受笛卡儿

（1596—1650）、牛顿、莱布尼兹（1646—1716）等人创立的解析几何、微积分等高等数学知识，促使从常量数学到变量数学的发展，奠定了重要的思想基础。