开方作法本源

讲到宋代的开方术，首先要讲到有重大意义的“开方作法本源”，根据

《永乐大典》卷一六三四四抄录的杨辉《详解九章算法》的记载，它是十一世纪上半叶数学家贾宪在《黄帝九章算经细草》中首先提出的，是一个指数是正整数的二项式定理系数表。欧洲人一般把这个表称为“帕斯卡三角”， 其实帕斯卡（1623—1662）得出这个表（公元 1654 年）比贾宪晚了六百多

年，就是在帕斯卡之前先提到这个表的中亚人阿尔·卡西（公元 1427 年提

出）和德国人阿皮纳斯（公元 1527 年提出），也迟出四五百年。我们有理由把这个表称为“贾宪三角”（也可称“杨辉三角”）。

贾宪三角下面注解中的前三句话，“左衺①乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉”说出了贾宪三角的结构和它们在开方术中的作用：它的每一行的数字表示（a＋b）n（n＝0，1，2，3，⋯⋯）展开式的各项系数。最外边左、右斜线上的数字，都分别是各次开方的积（an）和隅算（bn）的系数，中间所藏的“二”、“三、三”，“四、六、四”等等分别是开平方、立方、三乘方（即四次方）的廉。这里积、隅、廉等名词来源于古代的开方术①。贾宪三角最初来源于开方术，又用于开方术，就是贾宪“立成释锁法”，所以称为“开方作法本源”。唐宋历算家常把一些数学常数列成算表，以备计算人员使用，这种算表称作“立成”。“释锁”是宋元时期开方的代名词，形象地比喻开方求正根如同打开一把锁。“立成释锁法”就是以贾宪三角作为立成的开方法。注解中后两句“以廉乘商方，命实而除之”，简要说明了用各行系数进行开方的方法，就是以各廉

① 萨顿（1884—1956）是美国科学史家，代表作是《科学史引论》（公元 1927—1947 年）。力勃雷希这里所引的话就出自那部书。

① 我国古代，开方术不仅指求解形如 xn＝N 的二项方程的根，也指求解任意数字方程的正根，涵义比现代广泛得多。而“方程”却不是指一元方程，而是指现今的线性方程组，和现今方程的概念不同。

① “衺”，《永乐大典》作“袤”，据饯宝琮考证是“衺”之误，古代“衺”“斜”相通。

的时候利用贾宪三角的第三层(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22=x12+(2x1+x2)x2，

确定初商 x1 后，再定次商 x2（可用 2x1 试除余实 N－x12），加次商 X2 于 2x1， 乘以 x2，再从余实中减去。同样，开立方要用到贾宪三角的第四层的系数 1， 3，3，1。显然，同样的步骤对于任意高次幂的开方都适用，所以，利用贾宪三角中的各廉，贾宪已经把我国沿用一千多年的开平方法、开立方法推广到开任意高次方，这是一个创新。

贾宪接着提出了“增乘方求廉法”，又称作“释锁求廉本源”，先依开方次数，列出位数（隅算在外），以隅算 1 自下增入前位，到首位为止，再自下重复刚才的程序，每次低一位为止。如求开六次方的各廉，到五位，程序如下：、

因此，6，15，20，15，6 便是六次方各廉。

贾宪三角对宋元数学得以达到当时世界数学高峰，起了重大作用。元代朱世杰用两组分别平行于两邪的平行线把各廉联结起来，为高阶等差级数求和问题和高次招差术的发展，提供了有力的数学工具。同时，求贾宪三角的各廉的增乘方法的基本步骤，还可以用来直接进行开方，开辟了高次方程数值解法的新途径，这就是下面就要谈到的增乘开方法。贾宪三角对后世也有很大影响，明清许多重要数学著作都引用了它。