弦和管的振动

在科学史上，正如杠杆原理的诞生要比人类实际使用杠杆晚得很多一样，有关乐器的声学理论也要比人类实际上演奏各种乐器要晚很长时间。

弦乐器琴、瑟、筝、筑，可能在上古时代已有了雏型，后来他们中的古琴成为中国传统乐器，一直流传到现在。胡琴类弦乐器产生比较晚，大约隋唐时期先在少数民族中盛行。管乐器中篪（chí）、笛、箫、笙的历史也非常悠久。笙早在商代已经成为演奏乐器，考古发掘的最早的骨笛是新石器时代的器物。然而，从数理角度探讨它们的发音机制，确定它们的音高位置的规律，却是在西周中晚期才开始的。

弦线发音的高低是由它的振动频率决定的，而振动频率又决定于弦长、线密度和张力。大约公元前六到五世纪春秋战国之际，人们已经懂得了音调和弦长的定量关系，这就是闻名的“三分损益法”。这个方法是，从一个被认定作为基音的弦长出发，把它分做三等分，再去掉一分（损一）或加上一分（益一），来确定另一音的弦的长度。在数学上，就是把基音的弦长乘以三之分二（损一）或乘以三之分四（益一）。依此类推，计算十二次，就可以在弦上得到比基音高一倍或或低一半的音（就是高八度或低八度的音）， 也就完成了一个八度中的十二个音的计算。从这十二个音中选出五个或七个，就构成了五声音阶或七声音阶。这方法的最早记载见于《管子·地员篇》， 比希腊毕达哥拉斯（约前 580—前 500）提出的基本相同的方法要早得多。

古代人除了对音调和弦长成反比关系总结出“三分损益法”的定量规律外，他们还知道音调随线密度变化的关系。《韩非子》卷十二《外储说左下》中说：“夫瑟以小弦为大声，以大弦为小声。”这就是这种关系的定性描述。成书于西汉初年的《淮南子》还提到张力对音调的影响：当粗弦调得太紧因而发音太高时，要在同一乐器上调出某一调式，那么细弦就有绷断的危险。

（《诠言训》：“譬如张琴，小弦虽急，大弦必缓。”《泰族训》：“张瑟者，小弦急而大弦缓。”《谬称训》：“治国譬若张瑟，大弦组则小弦绝矣。” “组”是急的意思。）

以三分损益法计算而得的弦音，自然纯正，悦耳动听。但是，用它计算而得的高八度音，并非完全的高八度，而是比八度高。在西方，以“五度相生法”（就是乘以三之分二）所得的结果也是这样。为了使数学计算能得到一个完全八度音，东西方的音乐家都曾作过种种尝试，花费了上千年的时间。最后完成这一计算并创造一种新的数学方法的是明代科学家、王子朱载堉。他把八度音程平均地分成十二等分，在数学上解决了求等比数列的方法。朱载堉把这种方法叫做“新法密律”，现在叫“十二平均律”。这就是现在的钢琴、手风琴等键盘乐器普遍采用的数理方法。十二平均律是朱载堉

在明穆宗隆庆元年到神宗万历八年（公元 1567 年到 1581 年）间创建的；而今天在音乐舞台上占有乐器之王的钢琴是西方文化的产物。在中国播下的科学种子却在西方开花结果，这是东西方文化交流中至今仍有重大影响的文明之光。

在管乐器中，管里空气柱的振动和弦线振动有本质的不同。管振动是纵波，或空气的疏密波，如下图（2）是闭口管里空气柱振动模式，（3）是开口管里振动模式；而弦振动是横波，如下图（1）是两端固定的弦振动模式。古代人常用管作为定音器，用十二支长度不同的竹管（或铜管）来标定接三分损益法计算而得的八度内十二个音，这十二支竹（铜）管就叫做律管。在历史上，曾经有不少人误以为如管长和弦长相等，它们的发音音高也一致。事实上，由于受惯性影响，管里空气柱的振动要延伸到管外，如下图的（2）、

（3）所示，所以要使管振动和弦振动的音高一致，管长就不能等同于弦长， 而是要比弦长稍微短一些；或者使管的内径缩小。这种校正乐器发音的方法在中国古代都曾经被讨论过。特别是朱载堉成功地创造了缩小管内径的校正方法，他所得到的律管管内径的系统的校正公式和校正数据，直到十九世纪还受到西方音乐家和声学家的极大推崇。