刘徽割圆术

在解决求圆周长、圆面积、球体积等类问题的时候，经常要用到圆周率π。圆周率π可以表示成无限不循环小数

3.1415926535⋯⋯。

近代数学已经证明，圆周率π是一个不能用有限次加减乘除和开各次方等代数运算求出来的数，就是所谓“超越数”。

中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，也就是π＝3。很明显，这个数值非常粗糙，用它进行计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，“周三径一”就越来越不能满足精确计算的要求。因此，人们开始探索比较精确的圆周率。例如，据公元一世纪初制造的律嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，它所取的圆周率是 3.1547。公元二世纪初，东汉

天文学家张衡在《灵宪》中取用 730 ≈3.1466，又在球体积公式中取用

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≈3.1622。三国时期吴人王蕃（228—266）在浑仪论说中取 142 ≈

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3.1556。上述这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，

其中圆周率值 10还是世界上最早的记录。但是这些数值大多是经验结

果,缺乏坚实的理论基础。因此，研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的工作。

魏晋之际的杰出数学家刘徽，在计算圆周率方面，作出了非常突出的贡献。他在为古代数学名著《九章算术》作注的时候，正确地指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值。用古法计算圆面积的结果，不是圆面积，而是圆内接正十二边形面积。经过深入研究， 刘徽发现圆内接正多边形边数无限增加的时候，多边形周长无限逼近圆周长，从而创立割圆术，为计算圆周率和圆面积建立起相当严密的理论和完善的算法。

刘徽割圆术的主要内容和根据是：

第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。

第二，根据勾股定理，从圆内接正 n 边形每边的长，可以求出圆内接正 2n 边形每边的长。

第三，从圆内接正 n 边形每边的长，可以直接求出圆内接正 2n 边形面积。如右图，四边形OADB 的面积等于半径OD 和正n 边形边长AB 乘积的一半。

第四，圆面积 S 满足不等式

S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。

如右图，四边形 OADB 的面积和△OAB 的面积的差等于以 AD 和 DB 为弦的两个直角三角形面积，而 OADB 的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。

第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。

刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，⋯⋯以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一

百九十二边形的面积。 S192＝3.14 64

625

。这相当于求得л＝3.141024。他

在实际计算中，采用了л＝3.14＝ 157 。不仅这样，刘徽还继续求到圆内

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接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的圆周率值

л＝ 3927 ＝3.1416。

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刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德（前 287—前 212）用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。