增乘开方法

在现代计算数学中求代数方程的数值解的时候，流行着一种极其简便的方法——秦九韶程序，这就是我国宋代的增乘开方法，它是由北宋贾宪首先提出、而由十三世纪上半叶南宋的秦九韶最后完成的。在欧洲，直到 1819 年英国人霍纳才创造了类似的方法，比秦九韶晚五百七十二年，而比贾宪晚了七百多年。

增乘开方法的产生把我国的高次方程数值解法推进到一个新的阶段。 贾宪提出的增乘开方法，不是一次运用贾宪三角中的系数 1，2，1；1，

3，3，1；1，4，6，4，1；⋯⋯而是用随乘随加的办法得到和一次运用上述系数同样的结果。如求 x4＝N 的正根，先列开方式如下页的（1），商得第一位得数是 x1（称为初商）。以初商乘隅加入下廉，以初商乘下廉加入上廉， 以初商乘上廉加入方，以初商乘方从实中减去，如（2）式。如尽，x1 就是

所求的根。如不尽，再如（3）、（4）、（5）式所表示的那样，以初商乘隅，自下而上，继续随乘随加，并且以次低一层为止，最后得到减根后的方程（5）。用现代的符号写出，（5）式就是

x4＋4x1x3＋6x12x2＋4x13x＝N－x14。

不言而喻，（5）式的系数就是贾宪三角的第五层。再对（5）式重复上述的步骤，商得次商 x2，由下而上随乘随加，最后从实中减去，如尽，x1＋x2 就是所求的根。如不尽，再重复（3）、（4）、（5）的步骤，求解第二次减根方程，直到求出所需的答数。

显然，这个方法比原来的开方法程序整齐，运算简捷，不仅很容易推广到任意高次幂的开方，也可以推广到求解任意高次方程的数值解。事实上， 减根后的方程（5）就是一个不仅含有 X 的最高次幂、也含有其他次幂的方程。杨辉引用的贾宪的著作中就有开四次方的例题。

人们的认识总是由低到高、从一个方面到更多的方面不断向商 x₁ x₁

实 N N-

x1 · x12=N

-x14

方 0 x₁ · x₁²+0

=x13

上廉 0 x₁ · x₁+0= x12

N-x14

x1·3x12+x13=4x13 x1·2x1+x12=3x12

下廉 0 x·1+0=x₁ x₁·1+x₁=2x₁

(1) (2) (3)

x1 x1

N-x14 N-x14

4x13 4x13

x1·3x+3x12=6x12 6x12

x1·1+2x1=3x1 x1·1+3x1=4x1

1 1

(4) (5)

前发展。贾宪创造增乘开方法有不可磨灭的历史功绩。但是他用增乘开方法解决的只是限于 x2＝N，x3＝N，x4＝N 之类的二项方程，就是纯开方问题。而且到贾宪为止，我国的方程的未知数的系数和实都是正数。据杨辉《田亩比类乘除捷法》和《算法通变本末》的记载，首先突破这些规定的是十二世纪北宋数学家刘益，他在《议古根源》中讨论了分别含有“负方”和“益隅” 就是形如

x2－ax＝b 和－x2＋ax＝b

的两类方程（其中 a＞0，b＞0），并且创造了“益积术”和“减从术”解决这两类方程。这两种方法都不是增乘开方法，但是其中“减从术”比较接近增乘开方法，可以看作用增乘开方法解决负方、益隅两种类型方程这个认识长河中最初的两环。事实上，《议古根源》中有一个用增乘开方法求益隅四次方程正根的例题，开创了用增乘开方法求任何数字方程正根的先河。一百年后，秦九韶在《数书九章》中把高次方程求正根的增乘开方法发展到了十分完备的程度。

秦九韶以前的数学家认为“实”是已知量，当然是正数，相当于常数项在等式的右端。秦九韶认为“实”最好和未知数放在一起，正负相消，组成开方式，这样可以把增乘开方的随乘随加贯彻到底，因此他规定“实常为负”。这样的开方式相当于方程

f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋a2xn－2＋⋯⋯＋an－1x＋an＝0，

an＜0，a0≠0，

其中系数可正可负，可以是整数也可以是小数，有的方程高达十次。就是说秦九韶可以求解任何数字方程的正根，他自己称为“正负开方术”；当 a0

≠1 时，秦九韶称为“开连枝某乘方”；而方程的奇次幂系数都是零时，称为“开玲珑某乘方”。开方中减根后的方程的常数项一般越来越大，而接近于零，但有时常数项会由负变正，秦九韶称作“换骨”；有时常数项符号不变，而绝对值增大，叫做“投胎”。开方得到无理根时，秦九韶发挥了刘徽首创的继续开方计算“微数”的思想，用十进小数作无理根的近似值，这在世界数学史上也是最早的。