测望术和重差理论

在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：

日高 = 表高×表距 + 表高。

影差

见右图，其中 A 是日，BI 是地平面，ED、GF 是先后两表，DH 和 FI 是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图 AB 是海岛，H、I 是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：

岛高＝ 表高×表距 + 表高。表目距的差

刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：

由出入相补原理，得

□JG＝□GB，（1）

□KE＝□EB，（2） 相减得 □JG－□KE＝□GD，

所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，

即 表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。这就得到上述公式。

按《海岛》共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。

元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下页的图，现在重作证明如下：

由出入相补原理，除（1）、（2）外又有

□PG＝□GD，（3） 由（1）、（2）、（3）得

□JN＝□EB＝□KE， 所以 MI＝DH，（4）

FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。

由（3）式就得到海岛公式。

如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线GM＇‖AH，如下图，再利用相似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公

式的证明，这当然不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。注意作平行线的时候应有 FM＇＝DH，和前面（4）式相比， M 和 M＇的位置完全不同。

明末耶稣会传教士利玛窦（1552—1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在 FI 上取一点 M 使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取 M＇使 FM＇＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合， 颇使人迷惑不解。现在提出这一问题，希望大家共同探讨。