羡除公式

《九章》中列举了各种多面体的体积，依据的就是出入相补原理和阳马、鳖臑公式。现在以羡除即隧道（羡除是三个

侧面不是长方形而是梯形的楔形体，见右图）为例，图中 ABCD 是地面，成一梯形，CDEF 是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整个隧道依剖面IJK 对称。EG、FH 都和 CD 垂直是隧道的深，IJ 是隧道地面的长，CD、EF、AB 各称上广、下广、末广。《九章》给出的公式是：

1羡除体积＝ （上广＋下广＋末广）×深×长。

6

《刘注》的证法是先把羡除分解，如在上图中 CD＞AB＞EF 的情形，分解成一个堑堵 EFGHLM，两个小鳖臑 AGEL 和BHFM，两个不正规大鳖臑 ACEG 和BDFH，再应用堑堵、鳖臑公式和上一节公式（2），就得到这一公式。这一方法在

① 这是一种极限过程的证法，详细解释可参阅郭书春：《刘徽的体积理论》和 D. B. wagner：《An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid：Liu Hui，Third Century A. D.》，载《Historia Mathematica》，1979 年第六期，第 164—188 页。

《九章》中用来求得例如刍甍（楔形体）、刍童、盘池、冥谷（是各种棱台） 等多面体的体积公式。

如果依 IJK 剖面取羡除的一半，所得 IJKACE 如左图是一斜截直柱体，是把一个以勾股形为底面的直柱体斜截而成，它的体积是三高平均值和底面面积的积。因由任意曲面所围成的立体可以看作近似地由这样的斜截直柱体构成，所以据此可以得出函数 f（x， y）的积分近似公式，犹之微积分中求曲线下面积的辛普森积分近似公式。因而羡除公式具有重要意义。

在西方，斜截直柱体的体积公式最早见于 1794 年勒让德（1752—1833）所著《几何原理》一书，因此也称为勒让德公式。按勒让德的书是从欧几里得《几何原本》以后最早可以代替《原本》的名著， 它的有关公式的证明同样依据四面体体积公式，但是它的分解方法和《刘注》不同。

此外某些多面体西方也有不同的分解法和证法，不妨中外参照，加以比较。