勾、股、弦和它们的和差互求

勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。

除勾、股、弦互求就是开平方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：

第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）； 第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；

第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）； 第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。

各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明， 公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例原理作别证。

试以勾股章第十三折竹题为例。题设竹高已知，竹在某处折断，竹梢着地，着地处和竹根距离也已知。求折断处的高度，见右图。如果以竹梢着地处和竹根的距离作为勾，就是从股弦和、勾求股的问题，《九章》原文给出的公式是：

股弦差＝勾 2/股弦和，

1

弦，股＝ 2 （股弦和士股弦差）。

《刘注》又给出了另一公式：

股弦和² − 勾²

股＝ 2×股弦和 。

为了证明前一公式，可以考虑左图，其中正方形 ABCD 和 AEFG 的边各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF 的面积应该等于勾 2。现在把□FD 如图移到□CH，

那么依出入相补原理，□ BH 的面积是勾 2，而它的边长各是股弦和、股弦差， 就得到上面的前一公式。

另一公式的刘徽证明也相类似。试考察右图，其中右下角曲尺部分的面积依勾股定理等于勾 2，所以粗黑线围成部分的面积等于股弦和 2－勾 2。把长方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相补原理，

这一面积是斜线部分面积的两倍，就是 2×股

×股弦和，由此就得到另一公式。