天元术

随着求高次方程正根的增乘开方法日臻完备，列方程的方法——天元术也逐步发展起来。设未知数列方程，今天对具备初等数学知识的人来说是轻车熟路，然而在天元术产生以前却非同小可。唐初大数学家王孝通为了列某些三次方程，只好借助于文字，他的思维过程和叙述形式非常复杂。随着要解决的高次方程越来越多，高次方程的造法也越来越难，创造一种简捷的列方程的方法成为人们的迫切需要。在北宋数学家把增乘开方法推广到开任意高次方之后，天元术的诞生就成为我国数学发展的必然结果。据记载，金元时期的北方，有许多天元术著作，可惜它们大都和贾宪的《黄帝九章算经细草》、刘益的《议古根源》一样亡佚了。现存的只有李冶的《测圆海镜》（公元 1248 年）、《益古演段》（公元 1259 年）和朱世杰的《算学启蒙》（公

元 1299 年）、《四元玉鉴》（公元 1303 年）等著作。

用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某某”，就是现在的设未知数 x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式（就是含这个天元的多

项式），把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。显然，天元术和现今代数方程的列法雷同，而在欧洲，只是在十六世纪才开始做到这一点。

天元术是金、元数学家独立创造的。我国古代的开方筹式给天元式提供了一个现实的原型。然而实现科学地表达天元式这一飞跃，要经过一个复杂曲折的过程。起初，人们用“天、上、⋯⋯仙”九个字分别表示未知数的正幂，用“地、下、⋯⋯鬼”九个字表示负幂，用“人”表示常数项。以后经过简化，用“天元”、“地元”分别表示未知数的正幂和负幂，用“太”表示常数项。李冶进一步加以改进，取消“地元”，只用一个天元表示未知数。他在《测圆海镜》中采用正幂在上、常数和负幂在下的古法，后来在《益古演段》中又颠倒过来，这样就使天元式和传统的开方式相一致。在进行天元式运算的时候，李冶有时在一次幂系数的右旁记一“元”字，有时在常数右旁记一“太”字；系数是负数的，在系数的个位数码上加一斜划。李冶的开方式中，没有“实常为负”的规定，而是可正可负。以后的朱世杰、郭守敬等人沿用了李冶的表示法。如多项式

25x2＋280x－6905

可以记为

从李冶的著作中，我们可以看出，十三世纪上半叶人们已经熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除（只限于用 x 的整数幂来除）。而表示方程的天元式都是有理整式。否则，用乘方消去根号，用通分化成整式，再求解。