四元术

我国早在两汉时期就能解一次联立方程组，《九章算术》中称作“方程术”。把天元术的原理应用于联立方程组，先后产生了二元术、三元术和四元术。这是十三世纪中到十四世纪初我国宋元时期数学家又一辉煌成就。现有传本的朱世杰的《四元玉鉴》就是一部杰出的四元术著作。

所谓四元术，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。列式的方法是：在常数右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列于“太”字的下、左、右、上，相邻两未知数和它们的乘幂的积的系数记入相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数记入相应的夹缝中。我们用 x、y、z、u 分别表示天、地、人、物四元，那么它们在四元式中的位置如下图所示：

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

⋯y3u3 y2u3 yu3 u3 zu3 z2u3 z3u3⋯

⋯y3u2 y2u2 yu u zu z2u z3u⋯

⋯y3u y2u yu u zu z2u z3u⋯

yz

⋯y3 y2 y 太 z z2 z3⋯

xu xyz

⋯xy3 xy2 xy x xz xz2 xz3⋯

⋯x2y3 x2y2 x2y x2 x2z x2z2 x2z3⋯

⋯x3y3 x3y2 x3y x3 x3z x3z2 x3z3⋯

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

如方程组

− x − y − xy2 − z − xyz = 0, (1)



就记为

x − x2 − y + z + xz = 0, (2) x2 + y − z = 0, (3)

这实际上是多元高次方程组的分离系数表示法。

四元术用四元消元法解题，把四元四式消去一元变成三元三式，再消去一元变成二元二式，再消去一元，就得到一个只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求正根。这和今天解方程组的方法基本一致。在欧洲，直到十八世纪法国数学家贝佐（公元 1775 年）才系统叙述了高次方程组消元法问题。

我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献。这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为二的。我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。比如，尽管我国负数的发现和应用是最早的，可是解方程却一直局限于求正根，对负根从未考虑；对于方程根的个数和次数的关系，根和系数的关系，从未讨论，甚至《议古根源》中相邻两个问题的答案刚好就是同一个二次方程的两个根，可是刘益和杨辉都没有指出这一点；四元术对于超过四元的方程组就没法应用；等等。这些问题要求贾宪、刘益、秦九韶、李冶、朱世杰等人当时就解决，是苛求于古人， 但是它有可能在进一步发展中解决。然而，由于腐朽没落的封建制度的阻碍，宋元优秀的数学成就在这之后不仅没有发展，反而长期失传，加上帝国主义的侵略，现代科学也没有能在我国产生。直到十八世纪末十九世纪初， 焦循（1763—1820）、汪莱（1768—1813）、李锐、罗士琳（1789—1853） 等人才重新研究这些问题。汪莱、李锐提出了根和系数的判别法：当方程系数有一次变号的时候，可以有一个正根；有二次变号的时候，有两个正根； 有三次变号的时候，有三个或一个正根；有四次变号的时候，有四个或两个正根。这和所谓“笛卡儿符号法则”（公元 1637 年）是相同的。李锐还发

现方程有负根有重根。但是得到上述结果在时间上比欧洲人要晚。