球体积和祖暅原理

从《九章》到《刘注》，我国对多面体的体积已经建立了相当完整的理论体系。但是对于曲面围成的立体，特别是球的体积问题，却遇到了困难。这一球体积问题，直到南北朝时期祖暅才完全解决，为此并且提出了所

谓

祖暅原理幂势既同，则积不容异。

这一原理在公元十七世纪由意大利数学家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重见于欧洲，成为微积分得以创立的关键性的一步。

祖暅关于球体积公式的证明见于《九章》的唐李淳风注，论证极其详细清晰。证明分三步：

第一，在一立方体中依两不同方向作两内切圆柱体，它的共同部分称“牟

合方盖”。取立方体的 8 ，其中方盖部分称“内棋”，此外三部分称“外

棋”。依祖暅原理可得：

1 1

8 球体积： 8 方盖体积＝π∶4。

第二，原立方体的 8 割出一倒立的阳马，应用勾股定理证得三外棋等

高处截面积的和跟阳马同高处的截面积相等。

第三，再应用祖暅原理，知三外棋体积的和跟阳马体积相等。

由阳马的体积公式，就可从上述三步得球体积公式。

按牟合方盖是刘徽所引入的，第一步的结果实质上也已经为刘徽所求得。事实上，在《刘注》中，他已经多次应用了祖暅原理来求曲面围成立体的体积，例如从方堡壔（长方体）求圆堡壔（圆柱），从方锥求圆锥，从方亭（正方台）求圆亭（圆台），都已经使用这方法。祖暅的功绩，不仅在于具体求出了牟合方盖因而求出球的体积，更在于把实际上已知并且已经广泛应用的实践经验总结提高到一般原理的形式。是否应该把祖暅原理改称为刘祖原理，是可以商讨的。

从祖暅原理可以立即得出前面讲到的刘徽原理，因而多面体的体积理论也可以建立在出入相补原理和祖暅原理这两个浅显易明的基本原理之上。在欧洲，直到希耳伯特的《几何基础》问世以后，二十世纪初年，才有人（例如绪思）考虑依卡瓦列里原理以建立体积理论的问题。