三、引导学生对“数与形”统一进行发散思维

数与形是和谐的、统一的整体，对于给出一定结构的代数式结构的几何题，通过变换代数式的结构，可构造一定的几何图形与之对应，常能克服思维定势的消极因素，启迪解题思路。

例3： △ABC的∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a² = b² + bc 求证：∠A = 2∠B。思路一：a² = b²＋bc ⇔ 切割线定理 ⇔ 构造一个以 CB为圆的切线长，以CA和CA + AB图的两段割线的长 ⇔ 辅助线：延长CD 至D，使AD = AB，过A、B、D三点作圆（图1（1））。思路二：a·a = b

（b + c） ⇔ 相交弦定理 ⇔ 构造一个含长为a + a和b + （b + c）的二弦的圆 ⇔

辅助线：延长 BC 至 D，使 CD=BC，过 A、B、D 三点作圆（图 1（2））。

思路三：变形a∶b = （b + c）∶a ⇔ 相似三角形 ⇔ 以边BC，夹角C为基础构造三角形与△ABC相似 ⇔ 辅助线：延长CA至D，使AD = AB，连结BD

（图 3（3））。

四、引导学生对问题的解法进行发散思维（一题多解）

选取多种解题方法，以培养学生扩散思维能力和学习兴趣。

例 4： 已知△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，交 BC 的延长线于

点D，求证： BD = AB

CD AC

证法一：过C作CE∥AE交AB于E，（图4（1）） BD = AB

CD AE

又∵∠1=∠ACE，∠2=∠AEC，∠1=∠2∴∠ACE=∠AEC

∴AE = AC＼∴ BD = AB

CD AC

证法二：在BC的延长线上取一点D' ，使 BD′

CD′

过 C 作 CE∥AD'交 AB 于 E（图 4（2））。

= AB ①

AC

由①、②得AC = AE

∴∠AEC = ∠ACE， ∴∠D'AF = ∠CAD'



 ⇒ AD' 与AD重合。

AD是∠A的外角平分线 ⇒ ∠DAF = ∠CAD'

证法三：在△ACD中，

AC =

sin∠D

CD ①

sin ∠1

在△ABD中

AB

sin ∠D

= BD

sin∠BAD

②（图4（3））。

∵∠BAD=180°-∠2

∴sin∠BAD=sin∠2

∵∠1=∠2

∴sin∠1=sin∠2

∴sin∠BAD＝sin∠1

∴ AB = BD

AC CD

证法四：反证法（略）

这样，一道例题便复习到直接证法，间接证法，三角证法等。五、通过一题多变培养学生的发散思维

在初中几何教学中，利用典型例题，引导学生向题的深度和广度发展， 培养他们的发散思维。

原题：过△ABC 的顶点 C 任作一直线，分别与中线 AD 及边 AB 相交于点 E 和 F，求证：AE∶ED=2AF∶FB

1. 将原题的条件限在锐角三角形内（图 5（1））。若 CF⊥AB，过

D作DG∥CF，交于AB于G，则DG⊥AB，又BD = DC，则有DG = 1

2

CF，令 AD=CF，便有

发展题 1，在锐角三角形中，AD 是中线，CF 是 AB 边上的高，AD=CF，求证：

∠BAD=30°。

1. 让原题中的 CF 过 AD 的中点 E（图 5（2）），过 D 点作 DG∥AB 交 CF

于 G，则△AFE≌△DGE，有 AF=DG，DG∥AB，BD=DC．于

是AF = 1 BF，即AF∶BF = 1∶2 2

发展题 2，如果从△ABC 的顶点 C 引一条直线平分顶点 A 的中线 AD，那么这条直线把 AB 分成 1∶2。

总之，在教学中，只要教师善于启发引导，创造活跃的课堂气氛，重视思维信息的传递与交流，就会有利于学生发散思维能力的培养和发展。