二、贯穿知识的应用过程

数学是高度抽象的概括化理论，学生学习数学就是学习抽象的数学理 论。学习理论必须联系实际，应用于实践。数学学习中最重要的“实践”之一就是运用所学的知识解决问题。长期的教学实践使我认识到，培养学生在运用知识解决问题的过程中的概括能力，不仅有助于知识的系统化，而且对

提高学生观察问题、发现问题，分析问题和解决问题的能力有着极大的帮助。引导学生在解决问题的开始和解决问题之后进行概括是培养学生在运用

知识的过程中提高概括能力的有效途径。解决问题开始时的概括，可以确定解决问题的方向，明确解题的思路；解决问题之后的概括，以总结解决问题的经验，把解决问题的经验概括化地积累起来，作为进一步解决问题的基础。比如在解由两个二元二次方程组成的第二类型的二元二次方程组时，我首先引导学生观察各二元二次方程组的项数、系数及其相互间的数量关系，概括出各方程组的本质特征，引导学生运用“消元”或“降次”的思维方法，制定各自的解题策略，从而明确解题方向；在解完课本列举的几种特殊的第二类型的二元二次方程组的基础上，引导学生通过对每一道题的解题过程的反

思，概括在解题过程中涉及的数学思想和方法，使学生清楚地认识到，第二类型的二元二次方程组的解题思路就是通过消元或降次将第二类型的二元二次方程组转化为第一类型的二元二次方程组或二元一次方程组。

解题开始时概括和解题之后的概括在解决问题中的作用是相互关联的， 解题开始时的概括为解题后的概括作准备，解题后的概括为下一个问题的概括奠定基础，这样循环往复螺旋式上升，最终必将导致学生概括能力的提高。

在引导学生对形式相同的问题进行概括的同时，还要不失时机地对形式不同的问题运用概括的方法，寻找它们之间本质的联系。例如，平面几何中的“解三角形”和“证三角形全等”及“三角形作图”，虽然形式不同，但三者在本质上是一致的。在数学教学中，我通过精心设计一组练习，引导学生在解题的基础上概括它们的本质联系，使学生认识到，若具备一定的条件

（如“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”），可以判定两个三角形全等， 那么根据这些条件，便可以作出形状、大小唯一确定的三角形，也可以求解三角形（唯一解）；若据条件（如 SSA）无法判定两个三角形全等，那么根据这类条件，作三角形或解三角形时，便要对解的情况进行讨论（一解，两解或无解），这样的概括涉及的知识点跨度大，有助于学生抓住知识的脉络， 而且建立了不同知识块之间的联系，有助于学生实现知识与能力之间的迁

移。

培养学生在运用知识过程中的概括，要防止搞过窄的题型分类，让学生机械套用，否则就偏离了培养学生概括能力的正确轨道。比如列方程解应用题，通常是根据不同类型将应用题总结成若干类型（如行程问题，工程问题， 浓度问题等），从而得出某一类型基本解题思路和方法，但如何把类型搞得过窄，将行程问题分为空中、陆地、水上三种情况，再将各自的情况分为相遇和追及问题，再将相遇问题分为同时出发和不同时出发等，企图全面而无遗漏地概括反而不利于对行程问题中主要数量关系的概括，不利于数学模型的建立，也就是不利于用简化和代替的方法研究复杂问题。久而久之学生只注意题型，而忽视对问题本质特征的分析和概括，学生的思维就会僵化，造成机械学习的不良后果，因此，要正确引导学生认识题型的作用，既要重视题型，又不要迷信题型，解决问题的途径只能依赖于对问题的条件和结论及其相互关系的认真分析，从而找到解题思路。