三、利用构造函数模型进行分类讨论

对于分类讨论的问题，要做到不重不漏、逐类讨论、分层讨论，关键在于根据某些标准正确分类，合理分类。构造函数法，通过图像、数形结合， 直观地可以看出，不难找到分类的标准。

例8

范围。

当m∈R时，讨论方程

= x＋m解的个数及相应实数m的取值

简析：开始让学生用常规方法，很多学生这样解：

将方程两边平方并整理得：2x ²＋2mx＋m² - 1 = 0（※）

由Δ = -4m² ＋8得：（1）当Δ＞0时即 - 2＜m＜ 2，方程有两个解；

（2）当Δ = 0即m = ± 2时方程只有一个解；

（3）当Δ＜0即m＞

2或m＜ -

2时方程无解。

解完后向学生提出两个问题：

①参数 m 的分类是否正确？

②当m = - 2时代入（※）式中，可得x值方程是否有一个解？

学生们运算思考后，发现分类不正确，m = - 2使原方程无意义。

最后启发学生利用构造函数法来分类讨论得：

令y1 = 1 - x² （y1≥0），y2 = x + m（y2 ≥0）作出y1 ，y2 图像（如图）

不难看出：

（1）当1≤m＜ 2时，方程有两个根；

（2）当m = 2或- 1≤m＜1，时方程有一个根；

（3）当m＜ - 1或m＞ 2时，原方程无实根。

再让同学们对错误辨析，看到构造法解题途径简单明了，而且又直观， 确实是一种解题的好途径。