例谈数学教学中

对学生跨越思维能力的培养

——兼议中考综合题的失分与对策

河北省兴隆县大水泉中学 傅延堂 张明云

九年义务教育数学教学大纲指出：“初中数学教学中，发展学生的逻辑思维能力主要是逐步培养学生，会观察、比较、分析、抽象和概括，⋯⋯形成良好的思维品质。”达到《大纲》所提出的能力要求，培养学生形成良好的思维品质的一个重要途径，那就是要培养学生的跨越思维能力。

纵观这几年，在初中数学教学中，发挥着“指挥棒”作用的中考试题， 都具有一个共同的特征，即以综合题（纵向、横向）为压轴题，来考察学生综合运用代数、几何知识解决问题的能力。这类题所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，即也不偏不怪。而学生的失分率较高，特别是横向综合题

（几何、代数相综合）的失分率更高。造成这种状况的根本原因就是学生的跨越思维能力较低，总摆脱不了纯几何或纯代数知识的思维定势。我们认为其原因主要有以下三个方面：

第一，由于教材分为《几何》、《代数》，课本中的例题和习题的设置对几何、代数知识之间的沟通应用比较少。这样，从形式上给学生造成了几何、代数相分离的印象，缺乏一种整体的统一的认识。

第二，在平时的教学活动中，教师对几何代数相关知识没注意进行有效的沟通、演练，缺乏跨越思维的训练和培养，使学生在解题进程中形成了纯几何、纯代数的单纯解题思想和思维定势。

第三，一些老师们为应付中考，只在考前复习时采取“识别类型、死套模式、强化练习”的机械训练，强行灌注，而没有进行思维方法的启迪与跨越思维能力的培养，其结果也必然事倍功半。

事实上，横向综合题的目的也正是考察学生的跨越思维能力。因此，我

们在教学中，应重视这个问题，这不仅是中考的需要，也是《大纲》对学生思维能力培养的一项内在要求，还是素质教育对数学课堂教学的必须。我们认为，对学生进行跨越思维能力的培养应从以下几方面入手。

一、在教学过程中，我们应让学生明确代数、几何具有各自的独立性， 同时相互间有密切的联系。改变学生头脑中的纯几何、纯代数思想，打破定势。为此，老师在备课时，首先应考虑所要讲授的代数（或几何）知识与几何（或代数）知识之间的联系，进行发掘提炼。其次，在讲课时，要适时地揭示它们之间的密切关系，并进行阐述和总结。

如，讲三角形的三边关系时，应考虑到不等式；讲三角形三个内角关系或外角与内角关系时，应考虑到方程问题；讲平面直线坐标系应考虑到轴对称；在讲一次函数、二次函数时，应考虑到直角三角形和等腰三角形等。

二、要适时上好综合习题课，进行跨越思维训练。

首先，要精选习题。要结合学生的实际水平，选择例题，要注意选题的针对性、典型性、启发性和综合性。

例谈数学教学中 - 图1其次，要对习题的构成进行分析，对习题的解决，要充分暴露思维过程， 总结解题的思维方法。

例：如图，已知直角梯形 ABCD 的边 AB=a，BC=b，CD=c，腰 AD 是圆 O 的直径，直角腰 BC 与圆 O 交于点 E、F。求证：tg∠BAE 和 tg∠

BAF是方程ax2 - bx + c = 0的两根。（94年山西省某市中考模拟题）

（一）对题目的构成分析：

  1. 此题是证明两个角的正切值（tg∠BAE 和 tg∠BAF）是某一元

二次方程（ax2 - bx＋c = 0）的两根的问题，所以应该想到韦达定理。

  1. 又由所给条件可知，这是一个以直角梯形的斜腰为直径的圆和这个梯形的各边相交的图形，所以又应考虑圆中的一些线段的关系。

  2. 又知∠EAB 和∠BAF

    处在两个直角三角形中，所以应考虑直角三角形的边角关系。（且有 AB=a BC=b，CD=c 的条件）⋯⋯。

（二）对解题方法进行探求分析：

若证结论成立，则只需证：tg∠BAE + tg∠BAF = b ，tg∠BAE·tg

a

∠BAF = c ；根据条件可知：tg∠BAE = BE ，tg

a AB

> ∠BAF = BF ，所以有tg∠BAE + tg∠BAF = BE + BF

AB AB

①，tg∠BAE·tg∠BAF = BE·BF

AB2

②；若 BE = CF ，则

▲

①为tg∠BAE ＋tg∠BAF = BC = b ，（问题解决一部分），而

AB a

②为：tg∠BAE·tg∠BAF = BE·BF = CF·CE ．据切割线定理的推论得

AB2 AB2

CF·CE＝CG·CD，即 CF·CE = CG·CD ，于是得tg∠BAE·tg∠BAF

AB2 AB2

= CF·CE ．易知CG = AB．所以连结AG，则可得到矩形ABCG，则BC AB2

∥AG，可证 Rt△ABE≌△RtGCF，故 BE=CF。问题解决。

（三）写出解题过程（略）

（四）总结：这类问题是证明某两个角的三角函数值是某一元二次方程的两根问题。通过分析，可知这类题的关键是要抓住这两个角的三角函数值的积、积与方程两根的关系。注意结合代数中韦达定理及其逆定理和几何中三角形的边角关系、面积公式、有关线段间、有关角间关系等知识，达到问题的解决。此题还可对一些条件进行变化，提出新的问题。

三、搞一些横向变式训练。

进行横向变式训练，要选一些课本上的典型习题或例题，让学生参与对题目的横向变式。教师要注意引导，激发兴趣，使学生的跨越思维能力得到逐步提高。

例 1． 原题：如图 AD 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高，设 AC=60，AB=45， 求 AD、BD、CD。（九年义务教育教材四年制几何第二册 P2068 题）横向变式

为：

例谈数学教学中 - 图2如图，AD 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高，设 AC=60，AB=45，若以 D 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。

  1. 求 A、B、C 三点的坐标。

  2. 求线段 AB、AC 的解析式。

  3. 求经过 A、B、C 三点的抛物线。解答：（略）。

例 2： 原题：已知一个二次函数的图象过（-1，10），（1，4），（2， 7）三点，求这个抛物线的解析式。（九年义务教育教材四年制代数第三册P148 例 6）

横向变式为：

已知三个点（-1，10），（1，4），（2，7），（1）求作△ABC，并使其三个顶点与三个已知点关于 y 轴对称。（2）求作△A'B'C'与三个已知点关

于 x 轴对称。

解答（略）

例 3：原题：一条抛物线 y=ax+bx+c 经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。（九年义务教育教材四年制代数第三册 P1687 题）。

变式为：

已知点 A（0，0）与 B（12，0），并知 C 点纵坐标为 3；连结 AC、BC， 作 CD⊥x 轴，垂足为 D，DE⊥CB 垂足为 E。

  1. 求经过 A、B、C 三点，并以 C 为最高点的抛物线。

  2. 求 BE 的值。

AD

  1. 求△ADC 的外接圆面积。解答：（略）

在我们的教学实际中，跨越思维不仅体现在代数与几何知识间，还体现在纯代数知识或纯几何知识前后的联系，纯数学问题与实际应用问题、以及数学知识与相关学科（如物理、化学等）间的联系等诸多方面。我们只是在做初步的探讨。到底如何更好地培养学生的跨越思维能力，达到《大纲》提出的能力要求，还需广大同仁共同研究探讨，以适应素质教育的需要。