=

y² + yz + z ² ，|AB|=

∵|BC|+|AC| ＞|AB|，∴ +

＞

通过以上的例与练的分析，启发了学生的思维活动，培养了分析问题的能力，开拓了一条出奇制胜的巧证不等式的解题途径。

1. 构造函数模型法

有些不等式的证明，除了构造几何模型外，也可以构造函数模型，利用函数的性质（如单调性，奇偶性等）来解证，往往要比常规的方法容易找到证题途径，下面看一个例题：

例 4 设 a，b，c∈R+，且 a＋b＞c．

求证：

a 1 + a

• 1 + b

c

＞ 1+ c

在课堂上可先让学生用常规方法思考试证后启发学生用构造函数法来证，最后比较证法。

分析：不等式左右两边，结构相似

（x∈R+），先证单调性。

a

1 + a

b

， 1 + b

c

， 1+ c

，联想到函数f（x） =

任取x ，x ∈R ^{＋ ，不妨设x ＜x ，则f（x ） - f（x}

） = x1 - x2

1 2 1 2 1 2

＜0

∴f（x）在 x∈R+上单调递增。

∵a+b＞c（已知）∴f（a+b）＞f（c），

（1 + x1）（1 + x2 ）

a + b c

即a + b + 1 ＞ 1+ c ，

a

∵ 1+ a

• 1 + b

a

＞ 1 + a + b

• b

1+ a + b

= a + b 1 + a + b

a

∴ 1+ a

• 1 + b

c

＞ 1 + c 。

利用构造法也可解关于 x 的不等式

例 5 已知关于 x 的不等式｜x-4｜＋｜x-3｜＜a 的解集为非空集合，求实数 a 的取值范围。

对于讨论这类含参数的不等式，先让学生按常规方法解：用数轴法，分别在三个区间内讨论解集为非空集合时 a 的取值范围，然后求它的交集得 a

＜1。

后来又启发学生用构造函数方法来解，学生们思考很积极，有一个学生解道：

构造函数y1 = ｜x - 4｜ + ｜x - 3｜，y2 = a。

7 - 2x（x≤3）

则 

y1 = 1（3＜x≤4）

2x - 7（x＞4）

作出分段函数的图象（如图所示）

不难看到要使原不等式的解集为非空集合时，只须y2 ＞1，即a＞1。

类似解不等式：（1）1＜｜x²＋2x - 1｜＜3

（2） ｜k｜≤3，解不等式k（x ² - 2）＜2x - 1。

二、利用构造法解或讨论关于 x 的方程

1. 构造函数模型解某些用和等方法不能解的方程。

例6 解关于x的方程ln（x + x² + 1）＋ln（2x＋ 4x²

• 1） = 3x 。

简析：对此超越方程，用常规解法，似乎束手无策，图象法解也只能判断方程解的个数或近似根，可以不妨构造函数模型来考虑。

解：令函数f（x） = ln（x + x² + 1） - x（x∈R），

则原方程可化为：f（x）＋f（2x）=0，即 f（x）=-f（2x）

不难证明 f（x）在 x∈R 上是一个单调奇函数∴f（x）＝-f（2x） 又∵函数 f（x）在 x∈R 上是一个一一映射。

∴ 原 方 程 等 价 于 x=-2x ∴x=0 2．构造函数法还可以用来讨论关于 x 的方程根的情况。

例 7 若 K∈R，当 K 取舍值时，关于 x 的方程 lg（x-1）＋lg（3-x）=lg

（K-x）恰有两实根、一个实根或无实根？

分析：原方程可化为： - x² + 5x - 3 = K（1＜x＜3， x＜k），方程的

实根就是函数在定义域内两曲线的交点的个数。

略解：令y = -x² + 5x - 3 = -（x - 5 ） ² + 13 （1＜x＜3）y = K，（K

1 2 4 2

＞x），如图不难看出：

（1）当K = 13 或1＜K≤3时恰有一个实根；

4

1. 当3＜K＜ 13 时原方程恰有两个实根；

4

1. 当K＜ 13 或K≤1时方程无实根。

4